hdu 1907 John(取火柴游戏2)
来源:互联网 发布:dijkstra算法优先队列 编辑:程序博客网 时间:2024/04/30 09:40
题意:n堆火柴,2人每次从任意一堆中取至少1个,也可以将整堆取玩,取得最后一根火柴的人输
定义:若所有火柴数异或为0,则该状态被称为利他态,用字母T表示;否则, 为利己态,用S表示。
[定理1]:对于任何一个S态,总能从一堆火柴中取出若干个使之成为T态。
[定理2]:T态,取任何一堆的若干根,都将成为S态。
[定理 3]:S态,只要方法正确,必赢。
[定理4]:T态,只要对方法正确,必败。
接着来解决第二个问题。
定义:若一堆中仅有1根火柴,则被称为孤单堆。若大于1根,则称为充裕堆。
定义:T态中,若充裕堆的堆数大于等于2(若充裕堆数为1,则最后异或一定不为0 ,因为高位只有一个1,异或结果一定不为0),则称为完全利他态,用T2表示;若充裕堆的堆数等于0,则称为部分利他态,用T0(说明孤单堆的数目一定是偶数,否则异或结果定不为0,且因为是偶数,后拿的一定会最后取光所有物品,在第二个问题中先拿的是赢家)表示。
孤单堆的根数异或只会影响二进制的最后一位,但充裕堆会影响高位(非最后一位)。一个充裕堆,高位必有一位不为0,则所有根数异或不为0。故不会是T态。
[定理5]:S0态,即仅有奇数个孤单堆,必败。T0态必胜。
[定理6]:S1态( 一堆充裕堆,x个孤单堆),只要方法正确,必胜。
证明:
若此时孤单堆堆数为奇数,把充裕堆取完 , 变成S0;
否则有偶数个孤单堆,将充裕堆取得剩一根。这样,就变成奇数个孤单堆即 S0,由对方取。
由定理5 ,必胜。
[定理7]:S2态不可转一次变为T0态。
[定理8]:S2态可一次转变为T2态。
(若充裕堆>2 (1:充裕堆为偶数,孤单堆为奇数,将一个孤单堆取完),(2:充裕堆为奇数,若孤单堆为偶数,则取完一个充裕堆,若孤单堆为奇数,则取得一个充裕堆剩1个。))
[定理9]:T2态,只能转变为S2态或S1态。( 若充裕堆>2则可转变为S2 ,若充裕堆=2,则可转变为S1)。
[定理10]:S2态,只要方法正确,必胜.
证明:
方法如下:
1) S2态(①),就把它变为T2态(②)。(由定理8)
2) 对方只能T2转变成S2态或S1态(①)(定理9)
若转变为S2, 转向1)
若转变为S1(①), 这己必胜。(定理5)
定理11]:T2态必输。
综上所述,若是 S2,S1,T0 。 则先下的人必胜。
若是 T2,S0 。则先下的人必输。
两题比较:
第一题(全过程): S2 ->T2 ->S2->T2->... ...->T2->S1->T0(偶数个孤单堆)->...->S0->T0 (全0)。
第二题(全过程):S2->T2->S2->T2-> …… ->T2->S1->S0(技术个孤单堆)->T0->S0->……->S0->T0(全0)
S1态可以转变为S0态(第二题做法),也可以转变为
T0(第一题做法)。哪一方控制了S1态,他即可以有办法使自己得到最后一根(转变为
T0),也可以使对方得到最后一根(转变为S0)。
所以,抢夺S1是制胜的关键!
为此,始终把T2态让给对方,将使对方处于被动状态,他早晚将把状态变为S1.
#include<iostream>using namespace std;int main(){ int t,n,m,s,num; cin>>t; while(t--) { cin>>n; num=0; s=0; for(int i=0;i<n;i++) { cin>>m; if(m>1) num++; s^=m; } if(s) { if(num>=1) cout<<"John"<<endl; else cout<<"Brother"<<endl; } else { if(num>=2) cout<<"Brother"<<endl; else cout<<"John"<<endl; } } return 0;}
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