算法(08)：递归与非递归

我们曾经讨论过，递归程序在解决大规模问题时，经常会导致程序性能下降甚至不可用，因此我们研究递归只是通过递归来分析问题的特性，最终将递归程序转化为非递归程序实现。

首先我们先看一个用分治法（递归）画刻尺的问题：
在刻尺上每个英寸的1/2英寸点处做一个标记，在1/4英寸的间隔处做一个稍短的标记，在1/8英寸的间隔处做一个更短的标记，依次类推。我们的任务是在给定的分辨率下来作这些标记的程序。
如果我们需要的分辨率是1/2^n英寸，我们就应该在0和2^n之间的每个点作一个标记，不包括端点。因此中间的标记应当是n个单位高，左（右）半部分中间的标记是n-1个单位高。

 

//程序适用于r-l=2的幂的情况
static void rule(int l,int r,int h)
...{
 int m=(l+r)/2;
 if(h>0)
 ...{
  rule(l,m,h-1);
  mark(m,h);//在位置m处作一个h高的标记
  rule(m,r,h-1);
 }
}

该方法的思想如下：为了在中间做一个长标记，首先把间隔分成相等的两半；然后在左半部分作一个短一些的标记（递归的）；然后在右半部分作一个短一些的标记（递归的）。这个程序与汉诺塔的问题递归的顺序是相同的。

我们很容易的适用递归程序进行画刻尺，但是给定任意的一个i，有更简单的方法来计算第i个标记的长度吗？我们来看一下i个标记的输出

0001
0010    1
0011
0100    2
0101
0110    1
0111
1000    3
1001
1010    1
1011
1100    2
1101
1110    1
1111

1213121就是我们画刻尺标记的最后输出序列，很显然第i个标记的高度就是i的二进制数尾部0的个数。
按照这个对应，我们获得启发，我们自底向上的实现画刻尺。它不是递归的，但是来自于递归算法的启发。

static void rule(int l,int r, int h)
...{
 for(int t=1,j=1;t<=h;j+=j,t++)
  for(int i=0;l+j+i<=r;i+=j+j)
   mark(l+j+r,t);
}

在这里，我们先画出长度为1的所有标记，然后再画长度为2的所有标记，依次类推。变量t存放了标记的长度，变量j存放了两个连续的长度为t的标记之间的个数。外部for循环步进值为t，并保持了j=2^(t-1)。内部for循环画出所有长度为t的标记。

我们交替地画长度为1的标记并跳过位置，然后交替地画长度为2的标记并跳过剩余的位置，再交替地画长度为3的标记并跳过剩余的位置。

自底向上的方法与一般的算法设计思路是一样的，即总是先解决那些容易的子问题，然后把这些解结合起来，从而解决稍大的问题，直到整个问题的解决。这种方法叫合治法。