LU分解求线性方程组的解

来源：互联网发布：随身带着淘宝到异界编辑：程序博客网时间：2024/06/07 10:14

LU分解是矩阵分解的一种，可以将一个矩阵分解为一个上三角矩阵和一个下三角矩阵的乘积。

LU分解可以用来求逆矩阵，解线性方程组等。本文将介绍LU分解求线性方程组的解。

1.定义

如果A是一个方阵，A的LU分解是将A分解成如下形式:

$A = LU, \,$

其中L,U分别为下三角矩阵和上三角矩阵。

2.例子

对于如下矩阵A，对A进行LU分解

首先将矩阵第一列对角线上元素A11下面的元素通过矩阵初等行变换变为0，

然后再将矩阵第二列对角线上元素A22 下面的元素通过矩阵初等行变换变为0。

则得到的上三角矩阵就是U。这个时候，L也已经求出来了。通过将下三角形主对角线上的元素

都置为1，乘数因子放在下三角相应的位置（放在消元时将元素变为0的那个元素的位置），就

可以得到下三角矩阵L。如下:

对于L的构造，举个例子。如将第一列的元素2变为0时，第二行减去第一行乘以2，于是A21

就变成了0。这个乘数因子将元素A21变成了0，对应的，下三角矩阵L中对应位置的元素L21就为

乘数因子2。其它的与之类似。

3.LU分解程序实现(java实现)

通过上面举的例子，我们应该对LU分解的过程有了一个大致的了解。接下来可以看看程序

是怎么实现LU分解的，进一步加深对LU分解的了解。

/** * Get matrix L and U. list.get(0) for L, list.get(1) for U * @param a - Coefficient matrix of the equations * @return matrix L and U, list.get(0) for L, list.get(1) for U */private static List<double[][]> decomposition(double[][] a) {final double esp = 0.000001;double[][] U = a;double[][] L = createIdentiyMatrix(a.length);for(int j=0; j<a[0].length - 1; j++) {if(Math.abs(a[j][j]) < esp) {throw new IllegalArgumentException("zero pivot encountered.");}for(int i=j+1; i<a.length; i++) {double mult = a[i][j] / a[j][j]; for(int k=j; k<a[i].length; k++) {U[i][k] = a[i][k] - a[j][k] * mult;}L[i][j] = mult;}}return Arrays.asList(L, U);}

上面函数中出现的 createIdentiyMatrix 函数就是创建一个 a.length()行a.length()列的单位矩阵。

而

Math.abs(a[j][i]) < esp

的作用是当主元为0时，经典的LU分解算法不再适用，后面将进一步谈论这个。

4.LU分解解线性方程组

通过上面的介绍，我们已经知道，一个方阵A可以分解成 A=LU的形式(这里假设矩阵A能够进行LU分解)。

对于一个线性方程组 Ax=b，则由 A=LU 有 LUx = b。

为了求出x,我们可以先将Ux看成一个整体V(V=UX)，通过求解线性方程组 LV=b 得到V,即Ux,

再通过求解线性方程组 Ux=V 即可求出 x。

看到这里，你可能会觉得这样求解很麻烦。但是，别忘了L和U分别是下三角矩阵和上三角矩阵，

求解释很容易，不需要通过高斯消去法等求线性方程组的算法来求解。

首先来看一下 LV=b 求解V的程序代码：

/** * Get U multiply X * @param a - Coefficient matrix of the equations * @param b - right-hand side of the equations * @param L - L of LU Decomposition * @return U multiply X */private static double[] getUMultiX(double[][] a, double[] b, double[][] L) {double[] UMultiX = new double[a.length];for(int i=0; i<a.length; i++) {double right_hand = b[i];for(int j=0; j<i; j++) {right_hand -= L[i][j] * UMultiX[j];}UMultiX[i] = right_hand / L[i][i];}return UMultiX;}

然后是 Ux=V 求解的程序代码:

/** * Get solution of the equations * @param a - Coefficient matrix of the equations * @param U - U of LU Decomposition * @param UMultiX - U multiply X * @return Equations solution */private static double[] getSolution(double[][] a, double[][] U,double[] UMultiX) {double[] solutions = new double[a[0].length];for(int i=U.length-1; i>=0; i--) {double right_hand = UMultiX[i];for(int j=U.length-1; j>i; j--) {right_hand -= U[i][j] * solutions[j];}solutions[i] = right_hand / U[i][i];}return solutions;}

这两个求解过程是不是很简单？

如果觉得整个LU分解求解方程组的解过程还没有连接起来的话，可以看看下面整个程序的完整代码。

import java.util.Arrays;import java.util.List;public class LUDecomposition {/** * Get solutions of the equations * @param a - Coefficient matrix of the equations * @param b - right-hand side of the equations * @return solution of the equations */public static double[] solve(double[][] a, double[] b) {List<double[][]> LAndU = decomposition(a);  //LU decompositiondouble[][] L = LAndU.get(0);double[][] U = LAndU.get(1);double[] UMultiX = getUMultiX(a, b, L);return getSolution(a, U, UMultiX);}/** * Get solution of the equations * @param a - Coefficient matrix of the equations * @param U - U of LU Decomposition * @param UMultiX - U multiply X * @return Equations solution */private static double[] getSolution(double[][] a, double[][] U,double[] UMultiX) {double[] solutions = new double[a[0].length];for(int i=U.length-1; i>=0; i--) {double right_hand = UMultiX[i];for(int j=U.length-1; j>i; j--) {right_hand -= U[i][j] * solutions[j];}solutions[i] = right_hand / U[i][i];}return solutions;}/** * Get U multiply X * @param a - Coefficient matrix of the equations * @param b - right-hand side of the equations * @param L - L of LU Decomposition * @return U multiply X */private static double[] getUMultiX(double[][] a, double[] b, double[][] L) {double[] UMultiX = new double[a.length];for(int i=0; i<a.length; i++) {double right_hand = b[i];for(int j=0; j<i; j++) {right_hand -= L[i][j] * UMultiX[j];}UMultiX[i] = right_hand / L[i][i];}return UMultiX;}/** * Get matrix L and U. list.get(0) for L, list.get(1) for U * @param a - Coefficient matrix of the equations * @return matrix L and U, list.get(0) for L, list.get(1) for U */private static List<double[][]> decomposition(double[][] a) {double[][] U = a; double[][] L = createIdentityMatrix(a.length);for(int j=0; j<a[0].length - 1; j++) {if(a[j][j] == 0) { throw new IllegalArgumentException("zero pivot encountered."); } for(int i=j+1; i<a.length; i++) { double mult = a[i][j] / a[j][j];  for(int k=j; k<a[i].length; k++) { U[i][k] = a[i][k] - a[j][k] * mult; } L[i][j] = mult; } } return Arrays.asList(L, U); } private static double[][] createIdentityMatrix(int row) { double[][] identityMatrix = new double[row][row]; for(int i=0; i<identityMatrix.length; i++) { for(int j=i; j<identityMatrix[i].length; j++) { if(j == i) {  identityMatrix[i][j] = 1; } else {identityMatrix[i][j] = 0;}}}return identityMatrix;}}

5. LU分解的不足及改进

经典的LU分解算法当方阵中主元(主对角线上的元素) 出现0时，上面介绍的经典LU分解算法将失效，

上面的算法中也已经体现出来了。不过，我们可以在A=LU分解的基础上做出比较小的改动，就可以

使这个算法在上述情况下来能适用。随人 PA=LU 方法也可以解决这一问题，但是计算的耗费较大，

我们可以将 decomposition 函数中的对主元是否为0进行判断的 if 语句

if(a[j][j] == 0) {......}

改为

if(a[j][j] == 0) { a[j][j] = 1e-20; }

这样就可以方便的解决主元为0的问题，而且不需要额外的计算。

6.参考文献

1. 维基百科，http://zh.wikipedia.org/zh-cn/LU%E5%88%86%E8%A7%A3

2. Numerical Analysis, 2nd edition, Timothy Sauer.