堆排序

来源：互联网发布：php soap header 验证编辑：程序博客网时间：2024/06/16 16:30

一初识堆

堆数据结构是一种数组，它可以视为一颗完全二叉树。如下图：

图中的树是数组，A={16, 14, 10, 8, 7, 9, 3, 7}，圈内表示数值，圈外红色的数字表示数组的下标。

array_size是数组的大小（此时是8），heap_size是构建堆的元素的多少。满足heap_size<= array_size

给定某结点的下表i,其父结点下标为PARENT(i), 左儿子下标为LEFT(i), 右儿子下标为RIGHT(i)。满足

PARENT(i) = int((i-1)/2) ; LEFT(i) = 2*i+1; RIGHT(i)=2*i+2

最大堆满足：对于任何结点（除根节点）PARENT(i) > i

最小堆满足：对于任何结点（除根节点）PARENT(i) <i

叶子节点（下标）：int(i/2), int(i/2)+1......array_size

下面的介绍以最大堆为例

二保持堆的性质

最大堆的性质为 PARENT(i) > i，因此对于特定的结点，应满足比左右儿子都大

、

在上图中下标为1的结点值为2，左孩子为4，右孩子为1，1结点比左孩子小，就让1结点和3结点数值换过来。若此时4结点大于4，就把1结点和4结点数值换过来。

参考程序：

void MAX_HEAPIFY(int *A, int heap_size, int i)  //i 为待处理保持性质的结点下标{        int l = 2 * i + 1;                     //左孩子        int r = 2 * i + 2;                     //右孩子        int largest, tmp;        if(l < heap_size && A[i] < A[l])       // 左孩子数值大        {            largest = l;        }        else                                    //左孩子数值不大        {            largest = i;        }        if(r < heap_size && A[largest] < A[r]) //右孩子数值大
        {            largest = r;        }        if(largest != i)        {            tmp = A[i];            A[i] = A[largest];            A[largest] = tmp;            MAX_HEAPIFY(A, heap_size, largest); //再从数值大的结点继续往下递归处理        }}

三构建堆

从底向上使得每个结点保持堆的性质就可以构建堆，因为叶子节点就自己，无儿女，因此从倒数第一个非叶子节点开始依次往上构建，直到树根位置，而叶子节点开始的位置是int(i/2),因此第一个令其保持性质的结点下标为int((i-1)/2)。接着是int((i-1)/2-1)一直到0为止。下图表示了构建堆的详细过程：

图中有9个结点，int(9/2)= 4, 从4-1=3开始（依次是4 3 2 1 0）。注意是从后往前，为何不是从前往后，显然如果是上图中，从0开始，是6和3交换，我们知道在最大堆中根是最大的，可是从前往后的话，最大值7在无出头之日。

参考程序：

void BUILD_MAX_HEAP(int *A, int array_size, int heap_size){        int i;        for (i=array_size/2-1; i>=0; i--)        {            MAX_HEAPIFY(A, heap_size, i);        }}

四堆排序

最大堆把最大值排到了首个位置A[0]，这是如果把最大值和最后一个值A[heap_size-1]换过来，再使A[0]保持堆的性质，再使heap_size自建。重复以上过程，就是个非递减排序。下图是一个事例过程：

参考程序：

void HEAP_SORT(int *A, int array_size, int heap_size){        int tmp;        BUILD_MAX_HEAP(A, array_size, heap_size);        while(heap_size > 1)        {            tmp = A[0];            A[0] = A[heap_size-1];            A[heap_size] = tmp;            heap_size--;            MAX_HEAPIFY(A, heap_size, 0);        }}

五堆操作

1.HEAP_MAXIMUM(A) 找出最大的元素

int  HEAP_MAXIMUM(int *A){        return A[0];}

2.int HEAP_EXTRACT_MAX(int *A, int heap_size) 找出堆中最大元素，并删除，保持堆

int HEAP_EXTRACT_MAX(int *A, int heap_size){        int max;        max = A[0];        A[0] = A[heap_size-1];        heap_size--;        MAX_HEAPIFY(A, heap_size, 0);                return max;}

3. void HEAP_INCREASE_KEY(int *A, int heap_size, int i, int key) 第i个位置出若key比原来大，就改成key,保持堆

void HEAP_INCREASE_KEY(int *A, int heap_size, int i, int key){        int tmp;        if(A[i] > key)        {            printf("The key is smaller than A[i]");        }        else        {            A[i] = key;            while(i>=1 && A[(i-1)/2] < A[i])            {                tmp = A[i];                A[i] = A[(i-1)/2];                A[(i-1)/2] = tmp;                i = (i-1)/2;                MAX_HEAPIFY(A, heap_size, i);            }        }}

4.void MAX_HEAP_INSERT(int *A, int array_size, int heap_size, int key) 堆中插入元素

void MAX_HEAP_INSERT(int *A, int array_size, int heap_size, int key){        array_size++;        heap_size++;        A[heap_size] = -32768;        HEAP_INCREASE_KEY(A, heap_size, heap_size-1, key);}