瓦片算法

转载自：http://www.haogongju.net/art/1938078

一、墨卡托投影（Mercator Projection）

Bing Maps的地图数据采用墨卡托投影进行存储和展现。墨卡托(Mercator)投影，又名“等角正轴圆柱投影”，荷兰地图学家墨卡托（Mercator）在1569年拟定，假设地球被围在一个中空的圆柱里，其赤道与圆柱相接触，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅标准纬线为零度（即赤道）的“墨卡托投影”绘制出的世界地图。

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二、为什么选择墨卡托投影？

墨卡托投影的“等角”特性，保证了对象的形状的不变行，正方形的物体投影后不会变为长方形。“等角”也保证了方向和相互位置的正确性，因此在航海和航空中常常应用，而Google们在计算人们查询地物的方向时不会出错。

墨卡托投影的“圆柱”特性，保证了南北（纬线）和东西（经线）都是平行直线，并且相互垂直。而且经线间隔是相同的，纬线间隔从标准纬线（此处是赤道，也可能是其他纬线）向两级逐渐增大。

但是，“等角”不可避免的带来的面积的巨大变形，特别是两极地区，明显的如格陵兰岛比实际面积扩大了N倍。不过要是去两极地区探险或科考的同志们，一般有更详细的资料，不会来查看网络地图的，这个不要紧。

 

三、墨卡托投影坐标系

墨卡托投影以整个世界范围，赤道作为标准纬线，本初子午线作为中央经线，两者交点为坐标原点，向东向北为正，向西向南为负。南北极在地图的正下、上方，而东西方向处于地图的正右、左。

由于墨卡托投影在两极附近是趋于无限值得，因此它并没完整展现了整个世界，地图上最高纬度是85.05度。为了简化计算，我们采用球形映射，而不是椭球体形状。虽然采用Mercator Projection只是为了方便展示地图，需要知道的是，这种映射会给Y轴方向带来0.33%的误差。

由于赤道半径为6378137米，则赤道周长为2*PI*r = 20037508.3427892，因此X轴的取值范围：[-20037508.3427892,20037508.3427892]。当纬度φ接近两极，即90°时，Y值趋向于无穷。因此通常把Y轴的取值范围也限定在[-20037508.3427892,20037508.3427892]之间。因此在墨卡托投影坐标系（米）下的坐标范围是：最小为(-20037508.3427892, -20037508.3427892 )到最大 坐标为(20037508.3427892, 20037508.3427892)。

 

四、地理坐标系

地理经度的取值范围是[-180,180]，纬度不可能到达90°，通过纬度取值范围为[20037508.3427892,20037508.3427892]反计算可得到纬度值为85.05112877980659。因此纬度取值范围是[-85.05112877980659，85.05112877980659]。因此，地理坐标系（经纬度）对应的范围是：最小地理坐标(-180,-85.05112877980659)，最大地理坐标(180, 85.05112877980659)。

 

五、地面分辨率（Ground Resolution）和地图比例尺（Map Scale）

地图分辨率，Bing Maps的地图分辨率在第1级是512*512像素，第2级是1024*1024像素，第3级是2048*2048像素。。。最高好像到19级。

计算公式（单位：像素）：

地图宽度 = 地图高度 = 256 * 2 ^ 图像等级

地面分辨率，是指地图图像每个像素代表的实际距离，比如地面分辨率是10米/像素，就是说地图图像上的一个像素对应地面上10米的距离（应该是10平方米？还是10*10平方米？）。地面分辨率受地图图像级别和纬度影响，取地球赤道半径为6378137米。

地面分辨率的计算公式为（单位：米/像素）：

地面分辨率 = cos(纬度 * pi/180) * 地球赤道长度 / 地图宽度

= (cos(纬度 * pi/180) * 2 * pi * 6378137 ) / (256 * 2 ^ 图像等级)

地图比例尺，指示的是地图上的长度与地面实际长度的比例。例如，在一个地图比例尺为1:100000，地图上的每一英寸代表一个地面距离100000英寸。地面分辨率、地图比例尺都是随地图图像级别和纬度随时变化的。以目前一般的屏幕分辨率（DPI：每英寸的像素数）96dpi，即每英寸有96个像素来计算。

地图比例尺的计算公式为（注：1英寸＝2.54厘米＝0.0254米）：

地图比例尺 = 1 : 地面分辨率 * 屏幕分辨率 / 0.0254

= 1 : (cos(纬度 * pi/180) * 2 * pi * 6378137 * 屏幕分辨率) / (256 * 2 ^ 图像等级 * 0.0254)

下表是在赤道上的地图图像等级、地图分辨率、地面分辨率和地图比例尺的关系，这并不是完整的对应表，因为它们的对应关系还会受到纬度变化的影响。

图像等级

地图的宽高

（单位：像素）

地面比例尺

（米/像素）

地图比例尺

（以 96 dpi 为准）

1

512

78,271.5170

1 : 295,829,355.45

2

1,024

39,135.7585

1 : 147,914,677.73

3

2,048

19,567.8792

1 : 73,957,338.86

4

4,096

9,783.9396

1 : 36,978,669.43

5

8,192

4,891.9698

1 : 18,489,334.72

6

16,384

2,445.9849

1 : 9,244,667.36

7

32,768

1,222.9925

1 : 4,622,333.68

8

65,536

611.4962

1 : 2,311,166.84

9

131,072

305.7481

1 : 1,155,583.42

10

262,144

152.8741

1 : 577,791.71

11

524,288

76.4370

1 : 288,895.85

12

1,048,576

38.2185

1 : 144,447.93

13

2,097,152

19.1093

1 : 72,223.96

14

4,194,304

9.5546

1 : 36,111.98

15

8,388,608

4.7773

1 : 18,055.99

16

16,777,216

2.3887

1 : 9,028.00

17

33,554,432

1.1943

1 : 4,514.00

18

67,108,864

0.5972

1 : 2,257.00

19

134,217,728

0.2986

1 : 1,128.50

20

268,435,456

0.1493

1 : 564.25

21

536,870,912

0.0746

1 : 282.12

22

1,073,741,824

0.0373

1 : 141.06

23

2,147,483,648

0.0187

1 : 70.53

 

六、像素坐标系（Pixel Coordinates）

因为不同图像级别的分辨率不同，所以每一级别的地图图像都有以自己级别像素宽高为准的坐标系，以地图左上角为原点(0,0)，向右向下为正方向。每一级的坐标系最大值为(地图宽度 - 1, 地图高度 - 1)，或者套用上面的公式：(256 * 2 ^ 图像等级 - 1, 256 * 2 ^ 图像等级 - 1)。以第3级为例：像素坐标范围从(0, 0)到(2047, 2047)。

在给定经度、纬度和图像级别的情况下，我们可以通过以下公式计算其像素坐标：

sinLatitude = sin(纬度 * pi/180)

X坐标 = ((经度 + 180) / 360) * 256 * 2 ^ level

Y坐标 = (0.5 – log((1 + sinLatitude) / (1 – sinLatitude)) / (4 * pi)) * 256 * 2 ^ level

因为Bing Maps使用的是墨卡托投影，所以这里的经度取值范围从[-180°, +180°]，纬度取值范围从[-85.05112878°, 85.05112878°]。

 

七、地图瓦片坐标系（Tile Coordinates）和Quadkeys

为了优化地图的显示和检索速度，呈现到客户端的地图整体被切割成为边长为256像素的正方形瓦片（Tile）。因为每个图像级别的地图分辨率不同，所以不同图像级别被切割成为的瓦片数量也不同。

计算公式（单位：块）：

垂直方向上的瓦片数量 = 水平方向上的瓦片数量 = 2 ^ 图像级别

瓦片坐标系以左上角为原点(0, 0)，到右下角(2 ^ 图像级别 - 1, 2 ^ 图像级别 - 1)为止。例如：第3级的瓦片坐标系是从(0, 0)到(7, 7)。

关于瓦片坐标系的计算：

已知一个像素坐标XY，可以很容易求得其瓦片坐标：

瓦片X坐标 = floor(像素X坐标 / 256)

瓦片Y坐标 = floor(像素Y坐标 / 256)

为了简化索引和存储地图图片，每个瓦片的二维XY坐标值会被转换成一维字串，即四叉树键值（quardtree keys，缩写为quadkeys）。每个quadkey独立对应某个放大级别下的一个瓦片，并且它可以被用作数据库中B-tree索引值（我还不知道这个B-tree怎么用。。。）。为了将坐标值转换成quadkey，需要将Y和X坐标二进制值交错组合，并转换成4进制值及对应的字符串。例如，假设在放大级别为3时，瓦片的XY坐标值为(3, 5) ，quadkey计算如下：

瓦片Ｘ坐标 = 3 = 011 （二进制）

瓦片Y坐标  = 5 = 101 （二进制）

quadkey = 100111 （二进制） = 213 （四进制） = "213"

（说实话，我没明白这里是怎么交错组合的。。。经过和朋友讨论发现，首先XY转换成二进制后，要在前面补0来补齐成与当前图像等级相同的位数；然后开始“交错”。。。先是Y坐标的首位，然后是X坐标的首位，然后是Y坐标的第二位，然后是X坐标的第二位。。。以此类推）

quadkey还有其他一些有意思的特性。第一，quadkey的长度等于该瓦片所对应的图像级别；第二，每个瓦片的quadkey的前几位和其父瓦片（上一图像级别所对应的瓦片）的quadkey相同，下图中，第1级的 '瓦片2' 是第2级的 '瓦片20' 至 '瓦片23' 的父瓦片，第2级的 '瓦片13' 是 第3级的 '瓦片130' 至 '瓦片133' 的父瓦片：

最后，quadkey提供的一维索引值通常显示了两个tile在XY坐标系中的相似性。换句话说，两个相邻的tile对应的quadkey非常接近。这对于优化数据库的性能非常重要，因为相邻的tile通常被同时请求显示，因此可以将这些tile存放在相同的磁盘区域中，以减少磁盘的读取次数。

以上就是对于Bing Maps Tile System的一些简单学习和介绍。