【最长公共子序列】

来源：互联网发布：网络编程java是什么编辑：程序博客网时间：2024/04/29 16:36

最长公共子序列（LCS）

　　题目描述：给你两个数组，可以是数字的，也可以是字符串，我们假设是数字的！举个例子：

　　　　X = 1, 5, 6, 4, 1, 3, 7

　　　　Y = 1, 1, 6, 8, 3, 4, 7

　　求一个新的数组S，该数组中的每个数均是X和Y数组中的公共数，并满足原数组中数字的前后关系，这样的数组有很多个，比如说　　　　　　　　（1,1），（1,1,3,7），（1,6,7）等。同时S数组要是长度最长的那个，像上面的（1,1,3,7），长度是4，那么即为所求解！

　　做DP题目最重要的一点是能正确的构造出DP函数，如果能很好的构造出来，就成功一半了。

　　dp[i][j] 表示X数组的前i位和Y数组的前j位之前的LCS，那么它可以由前面三个状态推出来。

　　　　　　　　　　　0 if(i=0 || j=0) --初始化，不难理解，不管是X还是Y数组，只要有一个长度是0，那么S数组就是0

　　　　　　dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1] if(i,j>0 && X[i] != Y[j]) --S数组没有添加数字，那么只能从前面继承来，一个从X,一个从Y，看那个大

　　　　　　　　　　　dp[i-1][j-1] + 1 if(i,j>0 && X[i] == Y[j]) --如果是两个相同，当然是把S数组加1，可以看成X和Y都继承了

　　　　代码很简单，两个for循环就可以了。

这样我们可以总结出该问题的递归形式表达：

recursive formula

按照动态规划的思想，对问题的求解，其实就是对子问题自底向上的计算过程。这里，计算c[i][j]时，c[i-1][j-1]、c[i-1][j]、c[i][j-1]已经计算出来了，这样，我们可以根据X[i]与Y[j]的取值，按照上面的递推，求出c[i][j]，同时把路径记录在b[i][j]中（路径只有3中方向：左上、左、上，如下图）。

flow

计算c[][]矩阵的时间复杂度是O(m*n)；根据b[][]矩阵寻找最长公共子序列的过程，由于每次调用至少向上或向左移动一步，这样最多需要（m+n）次就会i = 0或j = 0，也就是算法时间复杂度为O(m+n)。

#include <iostream>#include <stdio.h>#include <string>#include <string.h>using namespace std;void LCS_Print(int **LCS_Direction, char *str, int row, int column){    if(str == NULL)        return;    int nLen1 = strlen(str);    if(nLen1 == 0 || row < 0 || column < 0)        return;        if(LCS_Direction[row][column] == 1)    {        if(row > 0 && column > 0)            LCS_Print(LCS_Direction, str, row - 1, column - 1);        printf("%c ", str[row]);    }    else if(LCS_Direction[row][column] == 2)    {        if(row > 0)            LCS_Print(LCS_Direction, str, row - 1, column);    }    else if(LCS_Direction[row][column] == 3)    {        if(column > 0)            LCS_Print(LCS_Direction, str, row, column - 1);    }}int LCS(char *str1, char *str2){    if(str1 == NULL || str2 == NULL)        return 0;    int nLen1 = strlen(str1);    int nLen2 = strlen(str2);    if(nLen1 <= 0 || nLen2 <= 0)        return 0;    // 申请一个二维数组，保存不同位置的LCS值    int **LCS_Length = new int*[nLen1];    // 申请一个二维数组，保存公共序列的位置    int **LCS_Direction = new int*[nLen1];    for(int i = 0; i < nLen1; i++)    {        LCS_Length[i] = new int[nLen2];        LCS_Direction[i] = new int[nLen2];    }    for(int i = 0; i < nLen1; i++)        LCS_Length[i][0] = 0;    for(int i = 0; i < nLen2; i++)        LCS_Length[0][i] = 0;        for(int i = 0; i < nLen1; i++)    {        for(int j = 0; j < nLen2; j++)        {            LCS_Direction[i][j] = 0;        }    }    cout<<"Init OK!"<<endl;    for(int i = 0; i <nLen1; i++)    {        for(int j = 0; j < nLen2; j++)        {            if(i == 0 || j == 0)            {                if(str1[i] == str2[j])                {                    LCS_Length[i][j] = 1;                    LCS_Direction[i][j] = 1;                }                else                    LCS_Length[i][j] = 0;            }            else if(str1[i] == str2[j])            {                LCS_Length[i][j] = LCS_Length[i - 1][j - 1] + 1;                LCS_Direction[i][j] = 1;            }            else if(LCS_Length[i - 1][j] > LCS_Length[i][j - 1])            {                LCS_Length[i][j] = LCS_Length[i - 1][j];                LCS_Direction[i][j] = 2;            }            else            {                LCS_Length[i][j] = LCS_Length[i][j - 1];                LCS_Direction[i][j] = 3;            }        }    }    LCS_Print(LCS_Direction, str1, nLen1 - 1, nLen2 - 1);    cout<<endl;    int nLCS = LCS_Length[nLen1 - 1][nLen2 - 1];    for(int i = 0; i < nLen1; i++)    {        delete[] LCS_Length[i];        delete[] LCS_Direction[i];    }    delete [] LCS_Length;    delete [] LCS_Direction;    return nLCS;}int main(){    cout<<LCS("ABCBDAB", "BDCABA")<<endl;    return 0;}