最长公共子序列实例

 一个字符串S,去掉零个或者多个元素所剩下的子串称为S的子序列。最长公共子序列就是寻找两个给定序列的子序列，该子序列在两个序列中以相同的顺序出现，但是不必要是连续的。

    例如序列X=ABCBDAB,Y=BDCABA.序列BCA是X和Y的一个公共子序列，但是不是X和Y的最长公共子序列，子序列BCBA是X和Y的一个LCS,序列BDAB也是。

    寻找LCS的一种方法是枚举X所有的子序列，然后注意检查是否是Y的子序列，并随时记录发现的最长子序列。假设X有m个元素，则X有2^m个子序列，指数级的时间，对长序列不实际。

    使用动态规划求解这个问题，先寻找最优子结构。设X=<x1,x2,…，xm>和Y=<y1,y2,…，yn>为两个序列，LCS（X,Y）表示X和Y的一个最长公共子序列，可以看出

    如果xm=yn,则LCS （ X,Y ） = xm + LCS （ Xm-1,Yn-1 ）。
    如果xm!=yn,则LCS（ X,Y ）= max{ LCS （ Xm-1, Y ）， LCS （ X, Yn-1 ） }

    LCS问题也具有重叠子问题性质：为找出X和Y的一个LCS,可能需要找X和Yn-1的一个LCS以及Xm-1和Y的一个LCS.但这两个子问题都包含着找Xm-1和Yn-1的一个LCS,等等。

    DP最终处理的还是数值（极值做最优解），找到了最优值，就找到了最优方案；为了找到最长的LCS,我们定义dp[i][j]记录序列LCS的长度，合法状态的初始值为当序列X的长度为0或Y的长度为0,公共子序列LCS长度为0,即dp[i][j]=0,所以用i和j分别表示序列X的长度和序列Y的长度，状态转移方程为

    dp[i][j] = 0  如果i=0或j=0
    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1  如果X[i-1] = Y[i-1]
    dp[i][j] = max{ dp[i-1][j], dp[i][j-1] }  如果X[i-1] != Y[i-1]

    求出了最长公共子序列的长度后，输出LCS就是输出dp的最优方案了，这在01背包中已经讲过，既可以用一个额外的矩阵存储路径，也可以直接根据状态转移矩阵倒推最优方案。代码如下：
    [cpp]
    #include <iostream>
    using namespace std;
    /* LCS
    * 设序列长度都不超过20
    */
    int dp[21][21]; /* 存储LCS长度， 下标i,j表示序列X,Y长度 */
    char X[21];
    char Y[21];
    int i, j;
    void main（）
    {
    cin.getline（X,20）；
    cin.getline（Y,20）；
    int xlen = strlen（X）；
    int ylen = strlen（Y）；
    /* dp[0-xlen][0] & dp[0][0-ylen] 都已初始化0 */