C语言经典算法100例（三）

1.河内之塔

说明河内之塔(Towers of Hanoi)是法国人M.Claus(Lucas)于1883年从泰国带至法国的，河内为越战时北越的首都，即现在的胡志明市；1883年法国数学家 Edouard Lucas曾提及这个故事，据说创世纪时Benares有一座波罗教塔，是由三支钻石棒（Pag）所支撑，开始时神在第一根棒上放置64个由上至下依由小至大排列的金盘（Disc），并命令僧侣将所有的金盘从第一根石棒移至第三根石棒，且搬运过程中遵守大盘子在小盘子之下的原则，若每日仅搬一个盘子，则当盘子全数搬运完毕之时，此塔将毁损，而也就是世界末日来临之时。

解法如果柱子标为ABC，要由A搬至C，在只有一个盘子时，就将它直接搬至C，当有两个盘子，就将B当作辅助柱。如果盘数超过2个，将第三个以下的盘子遮起来，就很简单了，每次处理两个盘子，也就是：A->B、A ->C、B->C这三个步骤，而被遮住的部份，其实就是进入程式的递回处理。事实上，若有n个盘子，则移动完毕所需之次数为2^n - 1，所以当盘数为64时，则所需次数为：2⁶⁴- 1 = 18446744073709551615为5.05390248594782e+16年，也就是约5000世纪，如果对这数字没什幺概念，就假设每秒钟搬一个盘子好了，也要约5850亿年左右。

/************************************************************************//* 汉诺塔问题                                                           *//************************************************************************/void Hanoi(int n,char A,char B,char C){if(n == 1){printf("Move sheet %d from %c to %c \n",n,A,C);}else{Hanoi(n-1,A,C,B);printf("Move sheet %d from %c to %c \n",n,A,B);Hanoi(n-1,B,A,C);}}

2. 费式数列

说明

Fibonacci为1200年代的欧洲数学家，在他的着作中曾经提到：「若有一只免子每个月生一只小免子，一个月后小免子也开始生产。起初只有一只免子，一个月后就有两只免子，二个月后有三只免子，三个月后有五只免子（小免子投入生产）......。

如果不太理解这个例子的话，举个图就知道了，注意新生的小免子需一个月成长期才会投入生产，类似的道理也可以用于植物的生长，这就是Fibonacci数列，一般习惯称之为费氏数列，例如以下： 1、1 、2、3、5、8、13、21、34、55、89......

/************************************************************************//* fibonacci数列                                                                  *//************************************************************************/void fibonacci(){int Fib[N] = {0};int i = 0;Fib[0] = 0;Fib[1] = 1;for(i = 2; i < N; i++)Fib[i] = Fib[i-1] + Fib[i-2];for(i = 1; i < N; i++)printf("%d ",Fib[i]);printf("\n");}

3. 字串核对

说明今日的一些高阶程式语言对于字串的处理支援越来越强大（例如Java、Perl等），不过字串搜寻本身仍是个值得探讨的课题，在这边以Boyer- Moore法来说明如何进行字串说明，这个方法快且原理简洁易懂。

解法字串搜寻本身不难，使用暴力法也可以求解，但如何快速搜寻字串就不简单了，传统的字串搜寻是从关键字与字串的开头开始比对，例如Knuth-Morris-Pratt演算法字串搜寻，这个方法也不错，不过要花时间在公式计算上；Boyer-Moore字串核对改由关键字的后面开始核对字串，并制作前进表，如果比对不符合则依前进表中的值前进至下一个核对处，假设是p好了，然后比对字串中p-n+1至p的值是否与关键字相同。

如果关键字中有重复出现的字元，则前进值就会有两个以上的值，此时则取前进值较小的值，如此就不会跳过可能的位置，例如texture这个关键字，t的前进值应该取后面的3而不是取前面的7。

#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <string.h> void table(char*); // 建立前进表 int search(int, char*, char*); // 搜寻关键字 void substring(char*, char*, int, int); // 取出子字串 int skip[256]; int main(void) { char str_input[80]; char str_key[80]; char tmp[80] = {'\0'}; int m, n, p; printf("请输入字串："); gets(str_input); printf("请输入搜寻关键字："); gets(str_key); m = strlen(str_input); // 计算字串长度 n = strlen(str_key); table(str_key); p = search(n-1, str_input, str_key); while(p != -1) { substring(str_input, tmp, p, m); printf("%s\n", tmp); p = search(p+n+1, str_input, str_key); } printf("\n"); return 0; } void table(char *key) { int k, n; n = strlen(key); for(k = 0; k <= 255; k++) skip[k] = n; for(k = 0; k < n - 1; k++) skip[key[k]] = n - k - 1; } int search(int p, char* input, char* key) { int i, m, n; char tmp[80] = {'\0'}; m = strlen(input); n = strlen(key); while(p < m) { substring(input, tmp, p-n+1, p); if(!strcmp(tmp, key)) // 比较两字串是否相同 return p-n+1; p += skip[input[p]]; } return -1; } void substring(char *text, char* tmp, int s, int e) { int i, j; for(i = s, j = 0; i <= e; i++, j++) mp[j] = text[i]; tmp[j] = '\0'; }

 

4.三色棋

三色旗的问题最早由E.W.Dijkstra所提出，他所使用的用语为Dutch Nation Flag(Dijkstra为荷兰人)，而多数的作者则使用Three-ColorFlag来称之。

 

假设有一条绳子，上面有红、白、蓝三种颜色的旗子，起初绳子上的旗子颜色并没有顺序，您希望将之分类，并排列为蓝、白、红的顺序，要如何移动次数才会最少，注意您只能在绳子上进行这个动作，而且一次只能调换两个旗子。

解法

在一条绳子上移动，在程式中也就意味只能使用一个阵列，而不使用其它的阵列来作辅助，问题的解法很简单，您可以自己想像一下在移动旗子，从绳子开头进行，遇到蓝色往前移，遇到白色留在中间，遇到红色往后移，如下所示：

只是要让移动次数最少的话，就要有些技巧：

如果图中W所在的位置为白色，则W+1，表示未处理的部份移至至白色群组。

如果W部份为蓝色，则B与W的元素对调，而B与W必须各+1，表示两个群组都多了一个元素。

如果W所在的位置是红色，则将W与R交换，但R要减1，表示未处理的部份减1。

注意B、W、R并不是三色旗的个数，它们只是一个移动的指标；什幺时候移动结束呢？一开始时未处理的R指标会是等于旗子的总数，当R的索引数减至少于W的索引数时，表示接下来的旗子就都是红色了，此时就可以结束移动，如下所示：

#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <string.h> #define BLUE 'b' #define WHITE 'w' #define RED 'r' #define SWAP(x, y) { char temp; \                     temp = color[x]; \                     color[x] = color[y]; \                     color[y] = temp; }int main() {    char color[] = {'r', 'w', 'b', 'w', 'w',                     'b', 'r', 'b', 'w', 'r', '\0'};     int wFlag = 0;    int bFlag = 0;    int rFlag = strlen(color) - 1;    int i;     for(i = 0; i < strlen(color); i++)         printf("%c ", color[i]);     printf("\n");     while(wFlag <= rFlag) {        if(color[wFlag] == WHITE)            wFlag++;        else if(color[wFlag] == BLUE) {            SWAP(bFlag, wFlag);            bFlag++; wFlag++;        }         else {             while(wFlag < rFlag && color[rFlag] == RED)              rFlag--;            SWAP(rFlag, wFlag);            rFlag--;        }     }     for(i = 0; i < strlen(color); i++)         printf("%c ", color[i]);     printf("\n");     return 0; } 

5. 老鼠走迷官（一）

说明老鼠走迷宫是递回求解的基本题型，我们在二维阵列中使用2表示迷宫墙壁，使用1来表示老鼠的行走路径，试以程式求出由入口至出口的路径。

解法老鼠的走法有上、左、下、右四个方向，在每前进一格之后就选一个方向前进，无法前进时退回选择下一个可前进方向，如此在阵列中依序测试四个方向，直到走到出口为止，这是递回的基本题，请直接看程式应就可以理解。

 

#include <stdio.h>#include <stdlib.h> int visit(int, int); int maze[7][7] = {{2, 2, 2, 2, 2, 2, 2},                   {2, 0, 0, 0, 0, 0, 2},                   {2, 0, 2, 0, 2, 0, 2},                   {2, 0, 0, 2, 0, 2, 2},                   {2, 2, 0, 2, 0, 2, 2},                   {2, 0, 0, 0, 0, 0, 2},                   {2, 2, 2, 2, 2, 2, 2}}; int startI = 1, startJ = 1;  // 入口int endI = 5, endJ = 5;  // 出口int success = 0;int main(void) {     int i, j;     printf("显示迷宫：\n");     for(i = 0; i < 7; i++) {         for(j = 0; j < 7; j++)             if(maze[i][j] == 2)                 printf("█");             else                 printf("  ");         printf("\n");     }     if(visit(startI, startJ) == 0)        printf("\n没有找到出口！\n");     else {         printf("\n显示路径：\n");         for(i = 0; i < 7; i++) {             for(j = 0; j < 7; j++) {                 if(maze[i][j] == 2)                     printf("█");                 else if(maze[i][j] == 1)                     printf("◇");                 else                     printf("  ");             }             printf("\n");         }     }     return 0; } int visit(int i, int j) {     maze[i][j] = 1;     if(i == endI && j == endJ)        success = 1;     if(success != 1 && maze[i][j+1] == 0) visit(i, j+1);     if(success != 1 && maze[i+1][j] == 0) visit(i+1, j);     if(success != 1 && maze[i][j-1] == 0) visit(i, j-1);     if(success != 1 && maze[i-1][j] == 0) visit(i-1, j);     if(success != 1)         maze[i][j] = 0;         return success; }  

 

6.老鼠走迷官（二）

说明由于迷宫的设计，老鼠走迷宫的入口至出口路径可能不只一条，如何求出所有的路径呢？

解法求所有路径看起来复杂但其实更简单，只要在老鼠走至出口时显示经过的路径，然后退回上一格重新选择下一个位置继续递回就可以了，比求出单一路径还简单，我们的程式只要作一点修改就可以了。

#include <stdio.h>#include <stdlib.h> void visit(int, int);int maze[9][9] = {{2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2},                  {2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2},                  {2, 0, 2, 2, 0, 2, 2, 0, 2},                  {2, 0, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 2},                  {2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2},                  {2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 2},                  {2, 2, 0, 2, 2, 0, 2, 2, 2},                  {2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2},                  {2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2}};int startI = 1, startJ = 1;  // 入口int endI = 7, endJ = 7;  // 出口int main(void) {     int i, j;     printf("显示迷宫：\n");     for(i = 0; i < 7; i++) {         for(j = 0; j < 7; j++)             if(maze[i][j] == 2)                 printf("█");             else                 printf("  ");         printf("\n");     }     visit(startI, startJ);    return 0; } void visit(int i, int j) {    int m, n;    maze[i][j] = 1;     if(i == endI && j == endJ) {        printf("\n显示路径：\n");        for(m = 0; m < 9; m++) {            for(n = 0; n < 9; n++)                if(maze[m][n] == 2)                    printf("█");                else if(maze[m][n] == 1)                    printf("◇");                else                    printf("  ");            printf("\n");        }    }    if(maze[i][j+1] == 0) visit(i, j+1);    if(maze[i+1][j] == 0) visit(i+1, j);    if(maze[i][j-1] == 0) visit(i, j-1);    if(maze[i-1][j] == 0) visit(i-1, j);    maze[i][j] = 0;}  

7. 骑士走棋盘

说明骑士旅游（Knight tour）在十八世纪初倍受数学家与拼图迷的注意，它什么时候被提出已不可考，骑士的走法为西洋棋的走法，骑士可以由任一个位置出发，它要如何走完[所有的位置？

解法骑士的走法，基本上可以使用递回来解决，但是纯綷的递回在维度大时相当没有效率，一个聪明的解法由J.C. Warnsdorff在1823年提出，简单的说，先将最难的位置走完，接下来的路就宽广了，骑士所要走的下一步，「为下一步再选择时，所能走的步数最少的一步。」，使用这个方法，在不使用递回的情况下，可以有较高的机率找出走法（找不到走法的机会也是有的）。

#include <stdio.h> int board[8][8] = {0}; int travel(int x, int y) {    // 对应骑士可走的八个方向    int ktmove1[8] = {-2, -1, 1, 2, 2, 1, -1, -2};    int ktmove2[8] = {1, 2, 2, 1, -1, -2, -2, -1};    // 测试下一步的出路    int nexti[8] = {0};    int nextj[8] = {0};    // 记录出路的个数    int exists[8] = {0};    int i, j, k, m, l;    int tmpi, tmpj;    int count, min, tmp;    i = x;    j = y;    board[i][j] = 1;    for(m = 2; m <= 64; m++) {        for(l = 0; l < 8; l++)             exists[l] = 0;        l = 0;        // 试探八个方向        for(k = 0; k < 8; k++) {            tmpi = i + ktmove1[k];            tmpj = j + ktmove2[k];            // 如果是边界了，不可走            if(tmpi < 0 || tmpj < 0 || tmpi > 7 || tmpj > 7)                continue;            // 如果这个方向可走，记录下来            if(board[tmpi][tmpj] == 0) {                nexti[l] = tmpi;                nextj[l] = tmpj;                // 可走的方向加一个                l++;            }        }        count = l;        // 如果可走的方向为0个，返回        if(count == 0) {            return 0;        }        else if(count == 1) {            // 只有一个可走的方向            // 所以直接是最少出路的方向            min = 0;        }        else {            // 找出下一个位置的出路数            for(l = 0; l < count; l++) {                for(k = 0; k < 8; k++) {                    tmpi = nexti[l] + ktmove1[k];                    tmpj = nextj[l] + ktmove2[k];                    if(tmpi < 0 || tmpj < 0 ||                        tmpi > 7 || tmpj > 7) {                        continue;                    }                    if(board[tmpi][tmpj] == 0)                        exists[l]++;                }            }            tmp = exists[0];            min = 0;            // 从可走的方向中寻找最少出路的方向            for(l = 1; l < count; l++) {                if(exists[l] < tmp) {                    tmp = exists[l];                    min = l;                }            }        }        // 走最少出路的方向        i = nexti[min];        j = nextj[min];        board[i][j] = m;    }    return 1;} int main(void) {    int startx, starty;    int i, j;    printf("输入起始点：");    scanf("%d %d", &startx, &starty);    if(travel(startx, starty)) {        printf("游历完成！\n");    }    else {        printf("游历失败！\n");    }    for(i = 0; i < 8; i++) {        for(j = 0; j < 8; j++) {            printf("%2d ", board[i][j]);        }        putchar('\n');    }    return 0;} 

8.八皇后

说明西洋棋中的皇后可以直线前进，吃掉遇到的所有棋子，如果棋盘上有八个皇后，则这八个皇后如何相安无事的放置在棋盘上，1970年与1971年， E.W.Dijkstra与N.Wirth曾经用这个问题来讲解程式设计之技巧。

解法关于棋盘的问题，都可以用递回求解，然而如何减少递回的次数？在八个皇后的问题中，不必要所有的格子都检查过，例如若某列检查过，该该列的其它格子就不用再检查了，这个方法称为分支修剪。

#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #define N 8 int column[N+1]; // 同栏是否有皇后，1表示有 int rup[2*N+1]; // 右上至左下是否有皇后 int lup[2*N+1]; // 左上至右下是否有皇后 int queen[N+1] = {0}; int num; // 解答编号 //void backtrack(int); // 递回求解 void showAnswer() {    int x, y;    printf("\n解答 %d\n", ++num);    for(y = 1; y <= N; y++) {        for(x = 1; x <= N; x++) {            if(queen[y] == x) {                printf(" Q");            }            else {                printf(" .");            }        }        printf("\n");    }}void backtrack(int i) {     int j;    if(i > N) {         showAnswer();    }     else {         for(j = 1; j <= N; j++) {             if(column[j] == 1 && rup[i+j] == 1 && lup[i-j+N] == 1) {                 queen[i] = j;                 // 设定为占用                column[j] = rup[i+j] = lup[i-j+N] = 0;                 backtrack(i+1);                 column[j] = rup[i+j] = lup[i-j+N] = 1;             }         }     } } int main(void) {     int i;     num = 0;     for(i = 1; i <= N; i++)         column[i] = 1;     for(i = 1; i <= 2*N; i++)         rup[i] = lup[i] = 1;     backtrack(1);     return 0; } 

9.八枚银币

说明现有八枚银币a b c d e f g h，已知其中一枚是假币，其重量不同于真币，但不知是较轻或较重，如何使用天平以最少的比较次数，决定出哪枚是假币，并得知假币比真币较轻或较重。

解法单就求假币的问题是不难，但问题限制使用最少的比较次数，所以我们不能以单纯的回圈比较来求解，我们可以使用决策树（decision tree），使用分析与树状图来协助求解。一个简单的状况是这样的，我们比较a+b+c与d+e+f ，如果相等，则假币必是g或h，我们先比较g或h哪个较重，如果g较重，再与a比较（a是真币），如果g等于a，则g为真币，则h为假币，由于h比g轻而 g是真币，则h假币的重量比真币轻。

#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <time.h>  void compare(int[], int, int, int); void eightcoins(int[]);  int main(void) {     int coins[8] = {0};     int i;     srand(time(NULL));     for(i = 0; i < 8; i++)         coins[i] = 10;     printf("\n输入假币重量(比10大或小)：");     scanf("%d", &i);     coins[rand() % 8] = i;     eightcoins(coins);     printf("\n\n列出所有钱币重量：");     for(i = 0; i < 8; i++)         printf("%d ", coins[i]);     printf("\n");     return 0; } void compare(int coins[], int i, int j, int k) {     if(coins[i] > coins[k])         printf("\n假币 %d 较重", i+1);     else         printf("\n假币 %d 较轻", j+1); } void eightcoins(int coins[]) {     if(coins[0]+coins[1]+coins[2] ==        coins[3]+coins[4]+coins[5]) {         if(coins[6] > coins[7])             compare(coins, 6, 7, 0);         else             compare(coins, 7, 6, 0);     }     else if(coins[0]+coins[1]+coins[2] >             coins[3]+coins[4]+coins[5]) {         if(coins[0]+coins[3] == coins[1]+coins[4])             compare(coins, 2, 5, 0);         else if(coins[0]+coins[3] > coins[1]+coins[4])             compare(coins, 0, 4, 1);         if(coins[0]+coins[3] < coins[1]+coins[4])             compare(coins, 1, 3, 0);     }     else if(coins[0]+coins[1]+coins[2] <            coins[3]+coins[4]+coins[5]) {         if(coins[0]+coins[3] == coins[1]+coins[4])             compare(coins, 5, 2, 0);         else if(coins[0]+coins[3] > coins[1]+coins[4])             compare(coins, 3, 1, 0);         if(coins[0]+coins[3] < coins[1]+coins[4])             compare(coins, 4, 0, 1);     } } 

10.生命游戏

说明生命游戏（game of life）为1970年由英国数学家J. H. Conway所提出，某一细胞的邻居包括上、下、左、右、左上、左下、右上与右下相邻之细胞，游戏规则如下：

孤单死亡：如果细胞的邻居小于一个，则该细胞在下一次状态将死亡。

拥挤死亡：如果细胞的邻居在四个以上，则该细胞在下一次状态将死亡。

稳定：如果细胞的邻居为二个或三个，则下一次状态为稳定存活。

复活：如果某位置原无细胞存活，而该位置的邻居为三个，则该位置将复活一细胞。

解法生命游戏的规则可简化为以下，并使用CASE比对即可使用程式实作：

邻居个数为0、1、4、5、6、7、8时，则该细胞下次状态为死亡。

邻居个数为2时，则该细胞下次状态为复活。

邻居个数为3时，则该细胞下次状态为稳定。

#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <ctype.h> #define MAXROW 10 #define MAXCOL 25 #define DEAD 0 #define ALIVE 1 int map[MAXROW][MAXCOL], newmap[MAXROW][MAXCOL]; void init(); int neighbors(int, int);void outputMap();void copyMap();int main() {    int row, col;    char ans;    init();   while(1) {      outputMap();      for(row = 0; row < MAXROW; row++) {         for(col = 0; col < MAXCOL; col++) {            switch (neighbors(row, col)) {               case 0:                case 1:                case 4:                case 5:                case 6:                case 7:                case 8:                   newmap[row][col] = DEAD;                   break;                case 2:                   newmap[row][col] = map[row][col];                   break;                case 3:                   newmap[row][col] = ALIVE;                   break;             }          }      }      copyMap();      printf("\nContinue next Generation ? ");      getchar();      ans = toupper(getchar());      if(ans != 'Y')break;   }   return 0; } void init() {   int row, col;        for(row = 0; row < MAXROW; row++)       for(col = 0; col < MAXCOL; col++)          map[row][col] = DEAD;    puts("Game of life Program");    puts("Enter x, y where x, y is living cell");   printf("0 <= x <= %d, 0 <= y <= %d\n",                  MAXROW-1, MAXCOL-1);    puts("Terminate with x, y = -1, -1");   while(1) {      scanf("%d %d", &row, &col);       if(0 <= row && row < MAXROW &&          0 <= col && col < MAXCOL)         map[row][col] = ALIVE;      else if(row == -1 || col == -1)         break;      else          printf("(x, y) exceeds map ranage!");    }}int neighbors(int row, int col) {   int count = 0, c, r;    for(r = row-1; r <= row+1; r++)       for(c = col-1; c <= col+1; c++) {          if(r < 0 || r >= MAXROW || c < 0 || c >= MAXCOL)             continue;          if(map[r][c] == ALIVE)             count++;       }    if(map[row][col] == ALIVE)       count--;    return count; } void outputMap() {   int row, col;    printf("\n\n%20cGame of life cell status\n");    for(row = 0; row < MAXROW; row++) {       printf("\n%20c", ' ');       for(col = 0; col < MAXCOL; col++)          if(map[row][col] == ALIVE) putchar('#');          else  putchar('-');    } } void copyMap() {   int row, col;    for(row = 0; row < MAXROW; row++)       for(col = 0; col < MAXCOL; col++)          map[row][col] = newmap[row][col]; }  

 

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