算法分析

      我们对算法进行分析，主要考察运行时间和占用资源空间。而算法效率的考察我们这里用最坏情况运行时间去衡量……
    通过对《算法导论》的学习，一般分析算法效率的方法无外直接分析法和递归式。一下我们将分别举例说明.
      1.  推理法：就是对算法本身进行直接分析，推理出运行时间。我们这里以插入算法为例：
      插入算法代码

 

//直接插入排序void straightInsertSort(int *a,int n){    int i,j;    int temp;    //逐个记录插入有序序列    for(i=2;i<=n;i++){        temp=a[i];        //把a[i]插入有序序列        for(j=i-1;j>=1;j--){            if(temp<a[j]){                a[j+1]=a[j];            }else                break;        }        a[j+1]=temp;    }} 

 

从上面代码容易看出，要插入的记录个数为n-1，其中关键字的比较次数和记录移动次数是依赖于给出的待排序序列是否基本有序。在最佳情况下（待排序序列有序），比较次数和移动次数时间为o（1），所以时间复杂度为o（n）.在最坏情况下（待排序序列逆序）和平均时间均为o（n^2）.从上述分析中可以看出，直接插入排序适合记录数比较少、给定序列基本有序的情况。熟悉了排序过程我们发现，直接插入排序是一种稳定的原地排序算法。
    2.  递推式：就是对算法进行直接分析，得出递推式，然后求解递推式。
        一般有如T(n)=aT(n/b)+f(n)的表达，对于这种递推式介绍三种求解递推方法。
       代入法；我们猜测一个界，然后用数学归纳法证明这个界是正确的。
       递归树法：将递归式转换为一颗树，其结点表示不同层次的递归调用产生的代码。然后采用边界和技术求解。
       主方法：

　　对于一个递归实现的分治算法，其时间复杂度表示为：

　　T(n) = aT(n/b)+h(n)

　　其中，a>=1; b>1; h(n)是不参与递归部分的时间复杂度。

　　比较n^log b (a)与Θ(h(n)) 的大小(Θ的含义和“等于”类似，而大O的含义和“小于等于”类似，感觉好像这里都可以用)：

　　若n^log b (a)= Θ(h(n)) ：该方法的复杂度为 Θ(h(n)*log(n))

　　若n^log b (a)< Θ(h(n)) ：该方法的复杂度为 Θ(h(n))

　　若n^log b (a)> Θ(h(n)) ：该方法的复杂度为 Θ(n^log b (a))

　　例如：

　　T(n) = T(n/2)+1：Θ(log(n))(二分查找)

　　T(n) = 2T(n/2)+n ：Θ(n*log(n))(归并排序)

　　以上都属于“等于”的情况。