一般图的最大匹配问题（真心觉得难）

参考博客：http://blog.csdn.net/yihuikang/article/details/10460997

论文地址：http://builtinclz.abcz8.com/art/2012/Galil%20Zvi.pdf 

概念分析：

未盖点：设Vi是 图G 的一个顶点，如果Vi 不与任意一条（属于匹配M）的边相关联，就称Vi 是一个未盖点。简言之，点不在匹配边的两端。

交错路：设P是 图G 的一条路，如果P的任意两条相邻的边一定是一条属于M而另一条不属于M，就称P是一条交错路。简言之，一条匹配边，一条非匹配边，交错。

可增广路：（两个端点都是未盖点的）交错路叫做可增广路。简言之，就是非匹配-匹配-非匹配 的样式。

基本定义：

图的定义：G（V，E），参考原文 点的数目定义为 |V|=m，|E|=n。

M    匹配边的集合，就这些匹配边而言，没有任何两条边相交的(或者说共有一个结点)。比如说1、2、3、4四个节点，它的一组匹配可能是（1,2）、（3,4）。

问题定义：

1. 二分图最大匹配

2. 一般图最大匹配

3. 二分图最大权匹配

4. 一般图最大权匹配

希望在这篇文档里面能基本解决第2个问题，而应具体需要，下一步解决第四个问题，以便论文的需要。

一般图的最大匹配要用到带花树算法（blossom），带花树的原理如下：

所谓的带花树算法就是，把整个圈缩成一个点，Edmonds称这个超级点为“花”，

就是说，圆圈里的所有点都作为外点，然后继续搜索。再之后的过程中，已经被缩的点还可能被嵌套地收缩。（外点和内点相区别）

当我们找到一条 增广路之后，还要把路上的“花”展开。

 总之，带花树的算法思想就是缩点-继续找增广路-找到之后把花展开。

实现的要点：(参考他人博客)

首先，我们不“显式”地表示花。

我们记录一个Nｅｘｔ数组，表示最终增广的时候的路径上的后继。

同时，我们维护一个并查集，表示每个点现在在以哪个点为根的花里（一个花被缩进另一朵花之后就不算花了）。

还要记录每个点的标记。

主程序是一段BFS。对于每个由ｘ发展出来的点ｙ，分４种情况讨论：

1、x ｙ是配偶（不说夫妻，这是非二分图。。。）或者ｘｙ现在是一个点（在一朵花里）：直接无视

2、ｙ是T型点：直接无视

3、ｙ目前单身：进行增广

4、ｙ是一个S型点：缩点（个人理解，按论文所说，y一共有三种情况T、S、free）

缩点的时候要进行的工作：(上图的过程)

1、找ｘ和ｙ的LCA（即最近的公共根）ｐ。找LCA可以用各种方法，直接朴素也行。

2、在Nｅｘｔ数组中把ｘ和ｙ接起来（表示它们形成环了！）

3、从ｘ、ｙ分别走到ｐ，修改并查集使得它们都变成一家人，同时沿路把Nｅｘｔ数组接起来。

基本理论基本结束，下面是具体实现，很难

参考博客中的代码虽然好（使用邻接矩阵），但在处理大规模数据的时候（比如说5W个点），空间复杂度太高。所以我改用邻接表进行运算，部分代码如下：

/*------------------------------新建图的信息-------------------*/int Blossom::CreateADG(){/*v1、v2是一条边的两个顶点*/FILE *fp;ArcNode *q,*p;int i,j,v1,v2;/*图的顶点、关联边的数目*/if((fp=fopen("bunny_output1.smf","rb"))==NULL){printf("can not open file\n");exit(0);}fscanf(fp,"%d %d\n", &myGraph.vexnum,&myGraph.arcnum);std::cout<<"graph vex number:";std::cout<<myGraph.vexnum<<std::endl;std::cout<<"graph arc number:";std::cout<<myGraph.arcnum<<std::endl; XfN::alloc1T(cha,myGraph.arcnum);/*输入头结点*/if(myGraph.vertices=(VNode*)malloc(sizeof(VNode)*myGraph.vexnum)){for(i=0;i<myGraph.vexnum;i++){myGraph.vertices[i].data = i;myGraph.vertices[i].firstarc = NULL;}}else{std::cout<<"malloc fail!"<<std::endl;return 0;}/*输入边的信息*/for(j=0; j<myGraph.arcnum; j++){fscanf(fp,"%c %d %d\n",&cha[j], &v1, &v2);//\n很重要if(q=(ArcNode*)malloc(sizeof(ArcNode))){q->adjvex = v2;q->nextarc = NULL;if(myGraph.vertices[v1].firstarc==NULL)myGraph.vertices[v1].firstarc = q;else{ArcNode* q1 = myGraph.vertices[v1].firstarc;while(q1->nextarc)q1 = q1->nextarc;q1->nextarc=q;}/*//头插法q->nextarc = myGraph.vertices[v1].firstarc;myGraph.vertices[v1].firstarc = q;*/}if(p=(ArcNode*)malloc(sizeof(ArcNode))){p->adjvex = v1;p->nextarc = NULL;if(myGraph.vertices[v2].firstarc==NULL)myGraph.vertices[v2].firstarc = p;else{q = myGraph.vertices[v2].firstarc;while(q->nextarc)q = q->nextarc;q->nextarc=p;}/*p->nextarc = myGraph.vertices[v2].firstarc;myGraph.vertices[v2].firstarc = p;*/}else{std::cout<<"malloc arc fail!"<<std::endl;return 0;}}return 1;}

/*----------------------------带花树算法-------------------*/int* belong;int* match;int* next;int* mark;int* vis;int* Q;int rear;ArcNode *q;void initFactor(Blossom& blo) {belong = (int*)malloc(blo.myGraph.vexnum * sizeof(int));match = (int*)malloc(blo.myGraph.vexnum * sizeof(int));next = (int*)malloc(blo.myGraph.vexnum * sizeof(int));mark = (int*)malloc(blo.myGraph.vexnum * sizeof(int));vis = (int*)malloc(blo.myGraph.vexnum * sizeof(int));Q = (int*)malloc(blo.myGraph.vexnum * sizeof(int));}

/*---并查集---*/(参考原文)

/*---朴素算法求某阶段中搜索树上两点x, y的最近公共祖先r(可优化)---*/ 

/*---增广---*/

void Blossom::solve(){FILE *fp;if((fp=fopen("bunny_output2.smf","w+"))==NULL){printf("can not open file\n");exit(0);}int i,tot = 0;initFactor(*this);for(i = 0 ; i < myGraph.vexnum ; i++)match[i]=-1;for(i = 0 ; i < myGraph.vexnum ; i++)if(match[i]==-1) aug(*this,i);for (i = 0 ; i < myGraph.vexnum; i++) if (match[i] != -1) tot++;printf("%d\n", tot/2);for (i = 0; i < myGraph.vexnum; i++) if (match[i] > i){printf("%d %d\n", i, match[i]);}fclose(fp);}