反素数学习_The Most Complex Number

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先说一下反素数:(引自百度百科)

基本概念

定义

对于任何正整数x,其约数的个数记做g(x).例如g(1)=1,g(6)=4.如果某个正整数x满足:对于任意i(0<i<x),都有g(i)<g(x),则称x为反素数.
性质

性质一：一个反素数的质因子必然是从2开始连续的质数.
性质二：p = 2^p1 * 3^p2 * 5^p3 * 7^p4..... 必然p1>=p2>=p3>=....

这两条性质决定了搜索复杂度不会很高

想了想大概的证明:对于1-x的反素数n,可以表示为a1^p1 * a2^p2 * .... an^pn

1.假如a不连续,即存在ai 和 ai+1在素数表中不相邻,那么总可以把ai+1换成比ai大的最小的素数,仍然使得结果不变.得证

2.假如pi < pj (i < j),那么将ai与aj的个数对调,结果也不变,得到的数减少.得证

int prime[] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 57};LL ipt, dfs_n, dfs_ans;int maxfac;void dfs(int index, int cnt, int pre, int ans, LL mul){    if (cnt == maxfac || mul > ipt / prime[index])    {        if (ans > dfs_ans)        {            dfs_ans = ans;            dfs_n = mul;        }        if (ans == dfs_ans && mul < dfs_n)        {            dfs_n = mul;        }        return;    }    LL t = prime[index];    FE(i, 1, min(pre, maxfac - cnt))    {        if (mul > ipt / t) return;        dfs(index + 1, cnt + i, i, ans * (i + 1), mul * t);        if (t > ipt / prime[index]) break;        t *= prime[index];    }}int main(){    int kase;    RI(kase);    while (kase--)    {        dfs_ans = -1;        scanf("%I64d", &ipt);        maxfac = (int)log2(ipt * 1.0);        dfs(0, 0, INF, 1, 1);        printf("%I64d %I64d\n", dfs_n, dfs_ans);    }    return 0;}