【PAT Advanced Level】1068. Find More Coins (30)

最近在学习动态规划，PAT中的这一题就是一个典型的dp问题。

这一题和01背包问题很类似，M相当于背包问题中的背包容量，硬币面值相当于每件物品的重量，背包问题中要求物品价值最大，这里要求物品总重（面值和）等于M，从可选方案中选择最优的是根据给定的比较方法。

我们解决问题的难点：如何选择出最小的序列？

首先来看递归式：L(i, j)表示在前i号硬币中选择，并且总价值小于等于j的序列的最大面值和。这里我们不要求等于j，只要尽量接近j就可以了。a[i]是i号硬币的面值，则递归式如下：

L(i, j)   =   0i == 0 || j == 0

     =    L[i - 1, j] a[i] > j

      =    max(L(i - 1, j - a[i]) + a[i], L(i - 1, j))a[i] <= j

自底向上填表之后，回溯一遍就可以得到所得序列。

但是想要保证序列“最小”，就必须将原面值递减排序。在回溯中每次遇到L(i - 1, j - a[i]) + a[i]这种情况，就决定选择a[i]，因为此时a[i]总是最小的。

//类似于01背包的DP//降序排列是关键！！！#include <iostream>#include <vector>#include <algorithm>#include <fstream>using namespace std;int N, M;vector<int> v;vector<vector<int>> l;void dp(){for(int i = 1; i <= N; i++){for(int j = 1; j <= M; j++){if(v[i] > j)l[i][j] = l[i - 1][j];else l[i][j] = l[i - 1][j - v[i]] + v[i] > l[i - 1][j] ? l[i - 1][j - v[i]] + v[i] : l[i - 1][j];}}if(l[N][M] != M){cout<<"No Solution"<<endl;return;}//回溯输出选取的序列int j = M;int i = N;//cout<<" ";while (j > 0){if(l[i][j] == l[i - 1][j - v[i]] + v[i]){cout<<v[i];j -= v[i];i -= 1;if(j != 0) cout<<" ";}else{i -= 1;}}cout<<endl;}bool cmp(const int &a, const int &b){return a > b;}int main(){//fstream cin("a.txt");cin>>N>>M;v.push_back(0);for(int i = 0; i < N; i++){int tmp;cin>>tmp;v.push_back(tmp);}sort(v.begin() + 1, v.end(), cmp);for(int i = 0; i <= N; i++){vector<int> tmp;for(int j = 0; j <= M; j++)tmp.push_back(0);l.push_back(tmp);}dp();}