栈的合法输出序列的数学证明
来源:互联网 发布:龙腾世纪起源捏脸数据 编辑:程序博客网 时间:2024/05/14 19:48
一个合法的出栈顺序,对于任意一个编号,随后所有小于这个编号的部分是严格单调递减的。
例如,下面这个入栈序列
1 2 3 4 5
3 2 1 5 4
3 1 2 5 4
例如,下面这个入栈序列
1 2 3 4 5
3 2 1 5 4
3 1 2 5 4
第一个是合法的,第二个是不合法的,因为比编号 3 小的随后的两个数 1 2 是递增的。
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证明如下:
假设在出栈过程中,在某一个步骤时,栈中存留的元素有 n 个,分别是 s1 到 sn。
此时,对于元素 sn,有两种可能性。
1)在下一步时,可以选择弹出 sn。那么,比 sn 小的所有元素,只有两种可能:
a. 还未出栈(不可能还未入栈,因为比它大的元素 sn 已经入栈了):则一定在 sn 后以递减的顺序出现在出栈队列中(因为入栈的顺序是严格递增的)
b. 已经出栈:此时,比这个元素还小的元素如果还没出栈,当它即将出栈的时候,就会又递归回到1)的情况。
2)可以不弹出 sn 而是继续入栈,则又回到 1)的情况。
综上,对于这个元素 sn,其后续元素一定是单调递减的。
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