Dynamic Programming:双调旅行商问题（旅行商的变种）的解法

关于TSP问题，毫无疑问它是一个NPC的问题。至今无多项式时间的解法。

很有意思的是，有意者定义了一种新的旅行商问题，成为双调旅行商问题，问题描述如下：

将所有的点看作二维平面上的一个点，每个点的坐标分别为（x，y），要求最后的旅程是从最左点开始，严格地的、从左到右到达右节点，然后严格地按照从右到左直至出发点，在这种情况下，多项式的时间是可能的。

问题分析：

首先是要找到最优子问题的所在。由于上下两条路径的点是完全不相交的，这就意味着一条路径选定一些点之后，这些点讲不能再被考虑，因此这两部分不独立，所以不应该分开来考虑。不失一般性，我们可以假设 P1 总是比P2走的快。（这是很重要的假设。）

其次根据题目要求，路线的两个部分显然都是递增的，假设两路线为P1，P2，比如P1到达了i点，P2到达了j点，那么max{ i, j } 就已经确定了走法：

比如 i > j， 那么 i 之前的点已经走掉了，或者是被P1，或者是被P2；（因为即使i ,j 之间存在着没有被走的点，那么P2也会将这些点走完，因为P1和P2都是不可能回头的）。

类似地，i < j有同样的分析。

如果i == j，P1和P2中最后走的边是 （1，i）（2，i）...（i - 1，i）.

基于上述描述，我们的子问题定义为如下的结构：

P[ i , j ] : 表示 P1走到了 i 点，P2走到了 j 点，并且  i  之前的所有的点已经都被走过了。（也就是说 j  现在是P2 走的最远的点。）

定义符号如下： D[i,j] 表示节点i到节点j的距离，（此处应该是欧式距离）

P[i,j] 表示节点i到节点j之间的走过的路径上的距离，（即路径上各个边的欧式距离）。

因此，我们的算法描述应该如下:

1     我们对所有的节点编号，按照x轴递增的顺序，依次为1，2，...，n

2   由于上述假设，i >= j 

     i == j :  这样的情况只可能发生在  i = j = 0 和  i = j = n 时，  P[ i  j ] =  P [ i ,  j-1]   +  D[ j - 1 ,  j  ] (此处前一步显然是由 P2 走的，且是从 j - 1  走到  j  的。否则违反了假设。)

    i  >  j  :   分为两种情况，

                  第一种就是 i  与 j 之间没有其他的点，那么   P [ i , j ] = min { P [ k ,  j ]  +  D[ k , i ] }  其中  1<= k <= j-1;

                  第二种是 i 和 j 之间有其他的点，那么  P[ i , j ]  = P [ i-1 , j ]  + D[ i-1 , i ]  ( 此处至今我想的还不是很透彻)  （现在的大致思路是如果P1 走到了 i  点，P2 走到的 j 点，那么前一步的状态可能是什么呢？由于前一步的 P [ i - 1 , j ] 已经求出，那么可以直接使用当前的最优值即可。）

 

因此，总共需要计算 n^2 个元素，每一个元素的计算的时间复杂度必须是常数 时间的，整个算法的时间复杂度才是 O(n^2) , 由于我们在选择的时候，在每一行只有在计算 i = j + 1 是的时间复杂度为 O( j - i ),  该行的元素至多为 j ,因此均摊的时间复杂度为O(1), 显然整个时间复杂度为O(n^2).

反思：这对我来说是一个很困难的DP的题目，首先我的子问题如果定义的不好，那么递推式就会写的很复杂；其次两个方向上的路径是相互制约的，因此很难找到独立的子问题。最后我的几个递推式想得还不是太明白。只有模糊的概念，但是理论上还是说的通。