快速幂算法
来源:互联网 发布:加工中心铣螺纹编程 编辑:程序博客网 时间:2024/04/27 10:22
快速幂取模算法
在网站上一直没有找到有关于快速幂算法的一个详细的描述和解释,这里,我给出快速幂算法的完整解释,用的是C语言,不同语言的读者只好换个位啦,毕竟读C的人较多~
所谓的快速幂,实际上是快速幂取模的缩写,简单的说,就是快速的求一个幂式的模(余)。在程序设计过程中,经常要去求一些大数对于某个数的余数,为了得到更快、计算范围更大的算法,产生了快速幂取模算法。我们先从简单的例子入手:求= 几。
算法1.首先直接地来设计这个算法:
int ans = 1;
for(int i = 1;i<=b;i++)
{
ans = ans * a;
}
ans = ans % c;
这个算法的时间复杂度体现在for循环中,为O(b).这个算法存在着明显的问题,如果a和b过大,很容易就会溢出。
那么,我们先来看看第一个改进方案:在讲这个方案之前,要先有这样一个公式:
.这个公式大家在离散数学或者数论当中应该学过,不过这里为了方便大家的阅读,还是给出证明:
引理1:
上面公式为下面公式的引理,即积的取余等于取余的积的取余。
证明了以上的公式以后,我们可以先让a关于c取余,这样可以大大减少a的大小,
于是不用思考的进行了改进:
算法2:
int ans = 1;
a = a % c; //加上这一句
for(int i = 1;i<=b;i++)
{
ans = ans * a;
}
ans = ans % c;
聪明的读者应该可以想到,既然某个因子取余之后相乘再取余保持余数不变,那么新算得的ans也可以进行取余,所以得到比较良好的改进版本。
算法3:
int ans = 1;
a = a % c; //加上这一句
for(int i = 1;i<=b;i++)
{
ans = (ans * a) % c;//这里再取了一次余
}
ans = ans % c;
这个算法在时间复杂度上没有改进,仍为O(b),不过已经好很多的,但是在c过大的条件下,还是很有可能超时,所以,我们推出以下的快速幂算法。
快速幂算法依赖于以下明显的公式,我就不证明了。
我们可以看到,如果我们在上式中把a = a mod c;改成a=(a*a) mod c;便可以把时间复杂度变成O(b/2),当然,这样子治标不治本,但是,如果我们每次都把a平方一次取余,便可以显著减少要运算的次数,即进行以下的迭代:
形如上式的迭代下去后,当b=0时,所有的因子都已经相乘,算法结束。于是便可以在O(logb)的时间内完成了。于是,有了最终的算法:快速幂算法。
算法4:快速幂算法
int ans = 1;
a = a % c;
while(b>0)
{
if(b % 2 = = 1)
ans = (ans * a) % c;
b = b/2;
a = (a * a) % c;
}
将上述的代码结构化,也就是写成函数:
int PowerMod(int a, int b, int c)
{
int ans = 1;
a = a % c;
while(b>0)
{
if(b % 2 = = 1)
ans = (ans * a) % c;
b = b/2;
a = (a * a) % c;
}
return ans;
}
本算法的时间复杂度为O(logb),能在几乎所有的程序设计(竞赛)过程中通过,是目前最常用的算法之一。
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