计算机程序的构造与解释作业：练习1.16到1.19

1.16 这个题目就是直译一下题目里面的公式。看开始我看了一下前面的题目，就高高兴兴的写出来了。如下：

(define (even? n)(= (remainder n 2) 0))(define (fast-expt b n)(cond((= n 0) 1)((even? n) (fast-expt (* b b) (/ n 2)))(else (* b (fast-expt b (/ (- n 1) 2))))))

后来看看题目里面还要加一个不变量进去，其实就是加一个状态记录计算的结果。注意：如果用传统的for循环来计算的话，这个地方肯定是用可变量来记录结果的。但是函数式编程用的是递归来实现循环，变量计算只要在调用递归函数的时候进行就可以了，没有必要使用中间量。其实这个的意思就是把递归变成迭代。

(define (even? n)(= (remainder n 2) 0))(define (fast-expt-iter a b n)(cond((= n 0) a)((even? n) (fast-expt a (* b b) (/ n 2)))(else (* b (fast-expt (* a b) (/ (- n 1) 2))))))(define (fast-expt b n) (fast-expt-iter 1 b n)

不得不说，这个“不变量”把我吓住了。其实就是一个记录结果的变量。还要注意的是：这个方法对于算法的性能并没有任何改善，算法的复杂度还是exp(n)

1.17 这儿还用的是前面的策略，使用递归的思想首先得到一个公式，如下

下面是代码，注意注释很有用

;首先实现double和halve只是为了让程序可以执行;实现这两个函数的过程中可以使用任何函数和操作符(define (double n)(* n 2));这里是实现double，所以用的是*(define (halve n)(div n 2));div使用的是地板除，而/实现的是普通的数学意义上的除法;这儿不能用/，只能用div(define (even? n)(= (double (halve n)) n))(define (fast-mul a b) (cond ((or (= a 0) (= b 0)) 0)  ((= b 1) a)   ((even? b) (double (fast-mul a (halve b))))  (else (+ a (double (fast-mul a (halve b)))))))

1.18 首先还是一样的：公式变换

代码实现如下：

;首先实现double和halve只是为了让程序可以执行;实现这两个函数的过程中可以使用任何函数和操作符(define (double n)(* n 2));这里是实现double，所以用的是*(define (halve n)(div n 2));div使用的是地板除，而/实现的是普通的数学意义上的除法;这儿不能用/，只能用div(define (even? n)(= (double (halve n)) n))(define (fast-mul-iter n a b) (cond ((= b 1) (+ n a))   ((even? b) (fast-mul-iter n (double a) (halve b)))  (else (fast-mul-iter (+ a n) (double a) (halve b)))))(define (fast-mul a b)(if (or (= a 0) (= b 0)) 0 (fast-mul-iter 0 a b)))

后记：刚才突然想到树形递归的形式和这个递归的形式类似，容易引起疑惑。其实这儿并不是树形递归，因为如果跟踪代码的执行的话，尤其函数的调用序列。可以看到每次的递归调用的时候，由于条件判断的存在，每次仅有一个分支得到执行。也就没有树形递归的那种多个分支同时执行的情况。