矩阵在初等行变换下的标准型

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矩阵在初等行变换下的标准型

一、矩阵在初等行变换下的标准型---行标准型

m×n矩阵A=

a₁₁a₁₂ ... a_1n

a₂₁a₂₂ ... a_2n

... ... ... ...

a_m1 a_m2 ... a_mn

的行标准形式是满足一定条件的特殊上三角形, 例如：

0 1 2 3 0 0 0 0

0 0 0 1 -3 2 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0

需要满足的条件为：

1. 仅前r行非0, 其中某r列构成单位阵E,其余各列构成 r×s矩阵B, s=n-r.

2. 对应于E的任一个非零元素, 1,不仅其所在列只有一个非零, 而且其所在行的左边全部为0.

行标准型是特殊的阶梯形, 称为(标准)阶梯型.

经过列的简单交换Q,A成为

E B

0 0

其中E是r阶单位阵, 下边是n-r行0. B是 r×s 矩阵.

并且在交换列的过程中, E对应的列先后顺序不变. 加入E对应A的j1,j2,...,jr列, 则 jk≥k.

标准型中, E对应于阶梯顶点.

二、行标准型的例子

1. 简单的例子是分成4块的m×n矩阵

EB

0 0

其中E是r阶单位阵, 下边是m-r行0. B是 r×(n-r) 矩阵.

2. 稍微复杂一点的例子是E、B的若干列交错情况. 例如

11 0 00

01 0 10

此时E对应于1,4列.

但此时要通过进一步实施行变换, 以便满足限制2:

10 0-1 0

01 01 0

此时E对应于1,2列。

可以看出，标准型中, E总是对应于阶梯顶点.

3. 具有一般性的例子:

10 1 0 01

00 0 01 3

其中E对应于1,5列.

三、行标准型的性质

因为阶梯顶点1列号不小于行号, 所以A的前r行r列子阵F为E,当且仅当F非退化 . 即

性质① 若A的行标准型是

F B

0 0

F是r×r子阵. 那么 F=E 当且仅当 F满秩.

性质② 如果A=(B C), B为满秩m×r阵, 则A的行标准型为(F D), 其中F的前r行为r×r单位阵, 其余元素为0.

性质③ 如果A的行标准型是B, 那么A的任何包含B的顶点所在列的子阵, 行标准型也B的包含顶点所在列的子阵.

性质④ 如果A的行标准型是B,PA=B, a 为A的包含B的顶点所在列的子阵, 则a的行标准型为等价标准型F, 并且Pa=F.

* 等价标准型即

Er 0

0 0

四、行标准型的存在性

行标准型基本上就是分成4块的m×n矩阵

EB

0 0

在下面的例子中，E可取为1,4列：

11 3 00

00 1 10

但此时违背限制条件2，需要进一步实行变换，化为

11 0-30

00 110

此时E对应于1,3列。

​可以看出，通过实施行变换，阶梯型总是可以规范化，即满足限制条件2.

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严格说明行标准型的存在性并不难，可以使用归纳法。

从r=0开始, r=0表示第一行,

[i] 如果a11≠0, 则利用初等行变换把它化为1, 同时把第一列其余元素化0.

[ii] 如果a11=0, 则检查第一列, 遇到有非0元素, 交换到第一行.转到[i].

[iii] 如果第一列全部为0, 则检查第二列, 如此直到遇到非0元, 换到第一行. 针对首先发现非0元的列, 实施变换[i].

如果没有非0元, 那么A=0, 已经是标准型.

否则行号 r加1,针对A的 m-r 行子句中, 重复上述步骤. 但是注意, 步骤[i]中化0操作要针对原矩阵A执行, 而不是仅处理r行以下的子阵.

如果A只有1行, 那么这种操作显然导致A的标准型. 否则, 先处理第1行,然后假设从第2行开始的子矩阵化为标准型, 归纳得到A的标准型.

归纳假设前r-1行已经成为标准阶梯型，如果A不足r行，或者r行以后全部为0, 那么A就是标准阶梯型了。

现在然后考虑第r行的第一个非0元素a_rs. 如果a_rs上方有顶点元素，则可以把a_rs化为0, 然后继续讨论。

如果r行全部为0了，则考虑下边的行，并且必要时把下边的行移动成为第r行。

现在假设a_rs上方没有顶点元素,可以简单地把a_rs化为1, 并把s列其余元素化0, 得到标准阶梯型。

下边通过具体例子说明上述证明过程：

2 0 4 0 0 0 0 0

1 0 2 -1 -1 3 12 -5

0 0 0 1 3 0 0 5

-1 0 -2 0 0 2 8 0

1、 ====>

1 0 2 0 0 0 0 0

0 0 0 -1 -1 3 12 -5

0 0 0 1 1 0 0 5

0 0 0 0 0 2 8 0

2、 第3行加于第2行，然后交换2、3行 ====>

1 0 2 0 0 0 0 0

0 0 0 1 1 0 0 5

0 0 0 0 0 3 12 0

0 0 0 0 0 2 8 0

3、====>

1 0 2 0 0 0 0 0

0 0 0 1 1 0 0 5

0 0 0 0 0 1 4 0

0 0 0 0 0 2 8 0

4、====>

1 0 2 0 0 0 0 0

0 0 0 1 1 0 0 5

0 0 0 0 0 1 4 0

0 0 0 0 0 0 0 0

化标准型，实际过程可以灵活一些，不严格按照证明中的步骤进行。如前例第2步。

五、行标准型的唯一性

如果A有一个行标准型 (E B), 那么A的所有行标准型都是(E B).

证明: 设(F C)是A的任一其他标准型, 则有行变换P,Q, 使得A=P(E B) = Q(F C) . Q(F C)=P(E B)==> P=QF, PB=QC ==>P=Q, B=C.

一般情况证明关键如下.

设A为m×n矩阵, 不妨假设A满秩. 设A有两个行标准型B,C,相应的行变换为P,Q.

仅考虑A的对应于标准型顶B的点的列, 同时再添加包含C的顶点的列, 所构成的子矩阵a, 则Pa=(E D). Qa=(F G). ===>

PE=QF, P=Q, B=C.

即A的任意两个行标准型相同.

六、行标准型的实现代码

Eqt.cpp

更新：Eqt.rar

关键代码：注意, 正确复制代码需要打开编辑页面.

// trizw, 梯形化矩阵A, 同时记录过程 P. 返回 r(A). D3DXMatrixInverse
// 注意: P 初始化必须令*P =0, 所返回内存指针通过 delete[] 释放.
// 调用方法示例: float* p=0; trizw(... , p);
// 参考:
// 1. HRESULT CreateDevice(..., IDirect3DDevice9** ppReturnedDeviceInterface);
// 2. FormatMessage(..., LPTSTR lpBuffer, ...);

int trizw(float*A, int m, int n, float*& P){ if(!A) return 0;

if(!P){
P=(float*)LocalAlloc(LMEM_MOVEABLE|LMEM_ZEROINIT,m*m*sizeof(float)); // *(float**)P=po;
// P=new float[m*n*sizeof(float)]; // 也可以
for(int i=0; i<m; glloadmatrixf
// printf("P0=\n"); show_matrix(P,m, m); printf("\n");
} // if(!*P)

static int r=0; // 递归过程中, 矩阵的秩 r 起着关键作用...
if(r>=m) return r;

float t, *p, *q, *s; int i,j,k,u;

for(j=r; j<n; span="" 开始仍然可能会遇到(r,r)之下全部为0的列.<="" 列开始.="" j="r" 从="" j++){="">

p=A+r*n+j; // 指r行j列元素 A[r,j]

for(i=r; i

if(*p!=0){ // break

if(i!=r){ q=A+r*n+j; s=A+i*n+j; // 交换 r、i行. 可以从第 j 列开始.
for(k=j; k<n; t="*q;" span="" }<="" s++;="" q++;="" *s="t;" *q="*s;" {="" k++)="">

for(k=0; k<m; t="P[r*m+k]; " span="" {="" k++)="" m×m="" <="" 并且注意p阶是="" 这里不可以从j列开始,="" ......="" 初等变换="" 记录1,="" }="" p[i*m+k]="t;" p[r*m+k]="P[i*m+k];">

} // if(i!=r)

t=A[r*n+j]; q=A+r*n+j;
for(k=j; k<n; span="" k++)="" 改变了a[r,j]的值.<="" a[r,j].="" 行除以="" r="" *q++="">

for(k=0; k<m; span="" k++)="" m×m="" <="" 并且注意p阶是="" 这里不可以从j列开始,="" p[r*m+k]="" ...="" 记录2="">

break; // from for i.
} // if(*p!=0)

p+=n;
} // for i

if(A[r*n+j]!=0){ // 用 A[r,j]=1 将 j-列其他元素化0, 即除r行外,各行减去r行*A[r,j]. 且跳出 for j 循环.

for(k=0; k<m; {="" k++)="" continue;=""
t=A[k*n+j]; // 其他行减去r行的适当倍数.
for(u=j; u<n;u++) span="" 从="" 因为r行j列之前为0<="" u="j列开始," a[k*n+u]-="A[r*n+u]*t; ">

for(u=0; u<m;u++) span="" ...="" u="0" 不同<="" [m×n]="" 可能与a的="" 阶,="" m×m="" 注意p是="" 列开始,="" 这里必须从="" 记录3="" p[k*m+u]-="P[r*m+u]*t; ">

} // for u

r++; break; // from for j. 必须 break from for(j).
} // if(A[r*n+j]!=0)

} // for j

if(j==n) return r; // 情况 break 没有发生.

static int ic=0; ic++; \
printf("A%d=(Rank=%d)\n", ic,r); show_matrix(A,m, n,3); printf("\n"); \
//printf("P%d=\n", ic); show_matrix(P,m, m); printf("\n");

return trizw(A,m,n,P);
}