矩阵(n阶方阵)的初等变换 初等矩阵 几何意义

任何一个可逆矩阵A都可以经初等行变换，变换到单位矩阵E。
A也可经初等列变换，变换到E。
A每经过一次初等行变换，就相当于在A的左边乘一个初等矩阵。
A每经过一次初等列变换，就相当于右乘一个初等矩阵。
左（行）右（列）

初等变换的逆变换还是初等变换。
初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵。
所以A一定可以写成一系列初等矩阵的乘积。

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初等变换（初等矩阵）有三种，并且由后两个可以表示出第一个（见评论）。

1. E(i,j).

   • 假设对任意的A：
     E(i,j) A：交换A的i、j两行
     A E(i,j)：交换A的i、j两列

   • 又因为E(i,j) = E(i,j) E = E E(i,j)，所以 E(i,j) 是 交换 单位矩阵E的i、j两行（或者列，其实结果是一样的）得到的。

   • 验证：以A E(i,j)为例，E(i,j) A同理。
     A =(a1, a2, … an) ai是列向量, 以下皆为列向量。
     E =(e1, e2, … en) = (… ei … ej …)
     所以 E(i,j) = (… ej … ei …)，而 E(i,j) 是对称矩阵，为了方便，记一个矩阵M的转置为 M’
     所以 E(i,j) = E(i,j)’ = (… ej … ei …)’
     A E(i,j) = (a1, a2, …, an)(… ej … ei …)’ = ∑ ak ek’ + ai ej’ + aj ei’

     • x? 指示第 ? 列
       ak ek’ = ak(0, … ,xk=1, 0, …) = (0, … ,xk=ak, 0, …)
       ai ej’ = ai(0, … ,xj=1, 0, …) = (0, … ,xj=ai, 0, …)
       aj ei’ = ai(0, … ,xi=1, 0, …) = (0, … ,xi=aj, 0, …)
   • 所以A E(i,j)就相当于交换了A的i、j两列。
   • 以上是对假设的循环论证（等价性证明），所以：
   • 定义：E(i,j) 是 交换 单位矩阵E的i、j两行（列）得到的矩阵。

2. Ei(k) k !=0
   定义：Ei(k) 是 E 的第 i 行（列）乘以 k 得到的矩阵。
   性质：Ei(k)A A的第 i 行乘以 k ；AEi(k) A的第 i 列乘以 k。
   性质的证明很简单，跟1. 类似，略。

3. 造了右边的记号，更形象： E(ikj)
   定义：把 E 的第 i 行乘以 k 加到第 j 行；或者 把 E 的第 j 列乘以 k 加到第 i 列。
   性质：E(ikj)A 把 A 的第 i 行乘以 k 加到第 j 行；AE(ikj) 把 A 的第 j 列乘以 k 加到第 i 列。

性质的证明：E=(e1, e2 … en)

E=E′=⎡⎣⎢e1′..en′⎤⎦⎥

E(ikj)=⎡⎣⎢..ej′+ei′k..⎤⎦⎥=E+⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢0..ei′k..0⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥

AE(ikj)=A+(...aj...)⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢0..ei′k..0⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥

AE(ikj)=A+aje′ik=A+aj(0,...,xi=k,0,...)=A+(0,...,xi=kaj,0,...)

所以相当于把第 j 列乘以 k 倍 加到 第 i 列上。

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下面表格总结了初等变换与行列式的几何意义

初等矩阵 初等变换【左（右）乘上它相当于初等行（列）变换】 A中向量组（n-有序单形）的几何变换 行列式（就是n-平行体有符号的面积、体积） E(i,j) 交换第i、j两行（列） 镜像（反射），变成了手性对映体 变号 改变定向 Ei(k) 第 i 行（列）乘以k 伸缩变换 体积乘以k E(ikj) 第 i 行乘以 k 加到第 j 行 或者 第 j 列乘以 k 加到第 i 列 错切变换 体积不变