acm-复杂度

来源：互联网发布：java设置字符集编码编辑：程序博客网时间：2024/05/22 12:39

求逆元

在计算(a/b)%Mod时，往往需要先计算b%Mod的逆元p（b有逆元的条件是gcd(b,Mod)==1，显然素数肯定有逆元），然后由(a*p)%Mod得结果c。这里b的逆元p满足(b*p)%Mod=1。先来简单证明一下：

(a/b)%Mod=c; (b*p)%Mod=1; ==》 (a/b)*(b*p)%Mod=c; ==》 (a*p)%Mod=c;

从上面可以看出结论的正确性，当然这里b需要是a的因子。接下来就需要知道根据b和Mod，我们怎么计算逆元p了。扩展欧几里德算法，大家应该都知道，就是已知a、b，求一组解(x,y)使得a*x+b*y=1。这里求得的x即为a%b的逆元，y为b%a的逆元（想想为什么？把方程两边都模上b或a看看）。调用ExtGcd（b,Mod,x,y)，x即为b%Mod的逆元p。

求b%Mod的逆元p还有另外一种方法，即p=b^(Mod-2)%Mod，因为b^(Mod-1)%Mod=1(这里需要Mod为素数)。

首先给出这个Lucas定理：

A、B是非负整数，p是质数。AB写成p进制：A=a[n]a[n-1]...a[0]，B=b[n]b[n-1]...b[0]。
则组合数C(A,B)与C(a[n],b[n])*C(a[n-1],b[n-1])*...*C(a[0],b[0]) modp同余

即：Lucas(n,m,p)=c(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p,p)

这个定理的证明不是很简单，我一直想找个很好的张明，但是，没找到，昨天看到了一个解题报告，基本上可以说明白这个Lucas定理是怎么回事了，具体的是说：

以求解n! %p为例，把n分段，每p个一段，每一段求的结果是一样的。但是需要单独处理每一段的末尾p, 2p,...，把p提取出来，会发现剩下的数正好又是(n /p)!，相当于划归成了一个子问题，这样递归求解即可。

这个是单独处理n!的情况，当然C(n,m)就是n!/(m!*(n-m)!)，每一个阶乘都用上面的方法处理的话，就是Lucas定理了，注意这儿的p是素数是有必要的。

Lucas最大的数据处理能力是p在10^5左右，不能再大了，hdu3037就是10^5级别的！

对于大组合数取模，n,m不大于10^5的话，用逆元的方法，可以解决。对于n,m大于10^5的话，那么要求p<10^5，这样就是Lucas定理了，将n,m转化到10^5以内解。

然后再大的数据，我就不会了！

复杂度

时间限制：1000 ms | 内存限制：65535 KB

难度：3

描述

for(i=1;i<=n;i++)

for(j=i+1;j<=n;j++)

for(k=j+1;k<=n;k++)

operation;

你知道 operation 共执行了多少次吗；

输入

输入 m 和n 表示m为for循环的层数，n为for中的n。
(n,m<=2000),输入以n==0和m==0结束

输出

输出operation执行的次数（输入结果mod 1009）

样例输入

2 31 32 40 0

样例输出

上传者

changhongli

我的代码：（没有ac，想复杂了，坑啊）

#include
using namespace std;
#define mod 1009
int Multi[1010];
void init()
{
    Multi[0] =1;
    for(int i =1;i <= mod;i++)
       Multi[i] = Multi[i-1]*i%mod;
}
int mod_inverse(int s,int t,int n)
{
int res=1;
int re=s;
while(t)
{
  if(t&1)
   res=(res*re)%n;
  re=(re*re)%n;
  t>>=1;
}
return res;
}
int Lucas(int m,int n)
{
int a=m%mod;
int b=n%mod;
returnMulti[b]*mod_inverse(Multi[a]*Multi[b-a]%mod,mod-2,mod)%mod;
}
int main()
{
int m,n;
init();
while(cin>>m>>n)
{
  if(m==0&&n==0)
   return0;
  else
  {
   intflag=1;
   while(m&&n)
   {
    flag*=Lucas(m,n);
    m/=mod;
    n/=mod;
   }
   cout<<flag<<endl;
  }
}
return 0;
}

ac的代码：（网上的，记录一下）

解题思路：

这是我队友chl出的一道题目，刚开始认为是找规律问题，然后就开始考虑找规律，昨天晚上找到一个自认为非常完美的规律，结果今天早上来发现是错的，后来经他提醒终于知道了，这一题需要用到组合数学的知识。。

首先m层，每层都有一个值i、j、k….我们发现这m个值是不重复的，而且是递增序列，于是我们可以想到只需要计算总共有多少中m个数的组合的情况即可，即C(m,n) —– 从n中任选m个数的种类数

但是问题又来了，n和m的值最大为2000，因此求C(m,n) 的时候long long 也存不下，而且（n%mod）/（m%mod）!= (n/m)%mod;

这就又需要用到另外的一个公式

C（m,n）= C (m,n-1) + C (m-1,n-1);

根据递推公式打表完美解决

#include
#include
using namespace std;
#define N 1009
int res[2001][2001]={0};
void f()
{
for(int i=1;i<=2000;i++)
  for(intj=1;j<=2000;j++)
  {
   if(i==j)
   {
    res[i][j]=1;
    continue;
   }
   if(i==1)
   {
    res[i][j]=j%N;
    continue;
   }
   res[i][j]=(res[i][j-1]+res[i-1][j-1])%N;
  }
}
int main()
{
f();
int m,n;
while(scanf("%d%d",&m,&n),m+n)
{
  printf("%d\n",res[m][n]);
}
return 0;
}