算法入门6：回溯法

一. 回溯法 – 深度优先搜素                       

1. 简单概述

       回溯法思路的简单描述是：把问题的解空间转化成了图或者树的结构表示，然后使用深度优先搜索策略进行遍历，遍历的过程中记录和寻找所有可行解或者最优解。

基本思想类同于：

• 图的深度优先搜索
• 二叉树的后序遍历

      【

         分支限界法：广度优先搜索

         思想类同于：图的广度优先遍历

                                二叉树的层序遍历

      】

2. 详细描述

        详细的描述则为：

        回溯法按深度优先策略搜索问题的解空间树。首先从根节点出发搜索解空间树，当算法搜索至解空间树的某一节点时，先利用剪枝函数判断该节点是否可行（即能得到问题的解）。如果不可行，则跳过对该节点为根的子树的搜索，逐层向其祖先节点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。

        回溯法的基本行为是搜索，搜索过程使用剪枝函数来为了避免无效的搜索。剪枝函数包括两类：1. 使用约束函数，剪去不满足约束条件的路径；2.使用限界函数，剪去不能得到最优解的路径。

        问题的关键在于如何定义问题的解空间，转化成树（即解空间树）。解空间树分为两种：子集树和排列树。两种在算法结构和思路上大体相同。

3. 回溯法应用

       当问题是要求满足某种性质（约束条件）的所有解或最优解时，往往使用回溯法。

       它有“通用解题法”之美誉。

二. 回溯法实现 - 递归和递推（迭代）                               

        回溯法的实现方法有两种：递归和递推（也称迭代）。一般来说，一个问题两种方法都可以实现，只是在算法效率和设计复杂度上有区别。
      【类比于图深度遍历的递归实现和非递归（递推）实现】

1. 递归

        思路简单，设计容易，但效率低，其设计范式如下：

//针对N叉树的递归回溯方法void backtrack (int t){if (t>n) output(x); //叶子节点，输出结果，x是可行解elsefor i = 1 to k//当前节点的所有子节点{x[t]=value(i); //每个子节点的值赋值给x//满足约束条件和限界条件if (constraint(t)&&bound(t)) backtrack(t+1);//递归下一层}}

2. 递推

      算法设计相对复杂，但效率高。

//针对N叉树的迭代回溯方法void iterativeBacktrack (){int t=1;while (t>0) {if(ExistSubNode(t)) //当前节点的存在子节点{for i = 1 to k  //遍历当前节点的所有子节点{x[t]=value(i);//每个子节点的值赋值给xif (constraint(t)&&bound(t))//满足约束条件和限界条件 {//solution表示在节点t处得到了一个解if (solution(t)) output(x);//得到问题的一个可行解，输出else t++;//没有得到解，继续向下搜索}}}else //不存在子节点，返回上一层{t--;}}}

三. 子集树和排列树                                                        

1. 子集树

       所给的问题是从n个元素的集合S中找出满足某种性质的子集时，相应的解空间成为子集树。
如0-1背包问题，从所给重量、价值不同的物品中挑选几个物品放入背包，使得在满足背包不超重的情况下，背包内物品价值最大。它的解空间就是一个典型的子集树。

       回溯法搜索子集树的算法范式如下：

void backtrack (int t){  if (t>n) output(x);    else      for (int i=0;i<=1;i++) {        x[t]=i;        if (constraint(t)&&bound(t)) backtrack(t+1);      }}

2. 排列树

      所给的问题是确定n个元素满足某种性质的排列时，相应的解空间就是排列树。
如旅行售货员问题，一个售货员把几个城市旅行一遍，要求走的路程最小。它的解就是几个城市的排列，解空间就是排列树。
      回溯法搜索排列树的算法范式如下：

void backtrack (int t){  if (t>n) output(x);    else      for (int i=t;i<=n;i++) {        swap(x[t], x[i]);        if (constraint(t)&&bound(t)) backtrack(t+1);        swap(x[t], x[i]);      }} 

四. 经典问题                                    

（1）装载问题
（2）0-1背包问题
（3）旅行售货员问题
（4）八皇后问题
（5）迷宫问题
（6）图的m着色问题

1. 0-1背包问题

        问题：给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为pi，背包的容量为C。问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?
        分析：问题是n个物品中选择部分物品，可知，问题的解空间是子集树。比如物品数目n=3时，其解空间树如下图，边为1代表选择该物品，边为0代表不选择该物品。使用x[i]表示物品i是否放入背包，x[i]=0表示不放，x[i]=1表示放入。回溯搜索过程，如果来到了叶子节点，表示一条搜索路径结束，如果该路径上存在更优的解，则保存下来。如果不是叶子节点，是中点的节点（如B），就遍历其子节点（D和E），如果子节点满足剪枝条件，就继续回溯搜索子节点。

代码：

#include <stdio.h> #define N 3         //物品的数量#define C 16        //背包的容量 int w[N]={10,8,5};  //每个物品的重量int v[N]={5,4,1};   //每个物品的价值int x[N]={0,0,0};   //x[i]=1代表物品i放入背包，0代表不放入 int CurWeight = 0;  //当前放入背包的物品总重量int CurValue = 0;   //当前放入背包的物品总价值 int BestValue = 0;  //最优值；当前的最大价值，初始化为0int BestX[N];       //最优解；BestX[i]=1代表物品i放入背包，0代表不放入 //t = 0 to N-1void backtrack(int t){//叶子节点，输出结果if(t>N-1) {//如果找到了一个更优的解if(CurValue>BestValue){//保存更优的值和解BestValue = CurValue;for(int i=0;i<N;++i) BestX[i] = x[i];}}else{//遍历当前节点的子节点：0 不放入背包，1放入背包for(int i=0;i<=1;++i){x[t]=i; if(i==0) //不放入背包{backtrack(t+1);}else //放入背包{ //约束条件：放的下if((CurWeight+w[t])<=C){CurWeight += w[t];CurValue += v[t];backtrack(t+1);CurWeight -= w[t];CurValue -= v[t];}}}//PS:上述代码为了更符合递归回溯的范式，并不够简洁}} int main(int argc, char* argv[]){backtrack(0); printf("最优值：%d\n",BestValue); for(int i=0;i<N;i++){   printf("最优解：%-3d",BestX[i]);}return 0;}

2. 旅行售货员问题

      回溯法----旅行售货员问题

3. 详细描述N皇后问题

       问题：在n×n格的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。

       N皇后问题等价于在n×n格的棋盘上放置n个皇后，任何2个皇后不放在同一行或同一列或同一斜线上。

      分析：从n×n个格子中选择n个格子摆放皇后。可见解空间树为子集树。

      使用Board[N][N]来表示棋盘，Board[i][j]=0 表示(I,j)位置为空，Board[i][j]=1 表示(I,j)位置摆放有一个皇后。

      全局变量way表示总共的摆放方法数目。

      使用Queen(t)来摆放第t个皇后。Queen(t) 函数符合子集树时的递归回溯范式。当t>N时，说明所有皇后都已经摆   放完成，这是一个可行的摆放方法，输出结果；否则，遍历棋盘，找皇后t所有可行的摆放位置，Feasible(i,j) 判断皇后t能否摆放在位置(i,j)处，如果可以摆放则继续递归摆放皇后t+1，如果不能摆放，则判断下一个位置。

       Feasible(row,col)函数首先判断位置(row,col)是否合法，继而判断(row,col)处是否已有皇后，有则冲突，返回0，无则继续判断行、列、斜方向是否冲突。斜方向分为左上角、左下角、右上角、右下角四个方向，每次从（row,col）向四个方向延伸一个格子，判断是否冲突。如果所有方向都没有冲突，则返回1，表示此位置可以摆放一个皇后。

        代码：

/************************************************************************  * 名  称：NQueen.cpp * 功  能：回溯算法实例：N皇后问题  * 作  者：JarvisChu  * 时  间：2013-11-13  ************************************************************************/  #include <stdio.h> #define N 8 int Board[N][N];//棋盘 0表示空白 1表示有皇后int way;//摆放的方法数  //判断能否在(x,y)的位置摆放一个皇后；0不可以，1可以int Feasible(int row,int col){//位置不合法if(row>N || row<0 || col >N || col<0)return 0; //该位置已经有皇后了，不能if(Board[row][col] != 0){//在行列冲突判断中也包含了该判断，单独提出来为了提高效率return 0;} ////////////////////////////////////////////////////下面判断是否和已有的冲突 //行和列是否冲突for(int i=0;i<N;++i){if(Board[row][i] != 0 || Board[i][col]!=0)return 0;} //斜线方向冲突 for(int i=1;i<N;++i){/* i表示从当前点(row,col)向四个斜方向扩展的长度 左上角 \  / 右上角   i=2        \/           i=1        /\           i=1左下角 /  \ 右下角   i=2*///左上角if((row-i)>=0 && (col-i)>=0)    //位置合法{if(Board[row-i][col-i] != 0)//此处已有皇后，冲突return 0;} //左下角if((row+i)<N && (col-i)>=0){if(Board[row+i][col-i] != 0)return 0;} //右上角if((row-i)>=0 && (col+i)<N){if(Board[row-i][col+i] != 0)return 0;} //右下角if((row+i)<N && (col+i)<N){if(Board[row+i][col+i] != 0)return 0;}} return 1; //不会发生冲突，返回1}  //摆放第t个皇后 ；从1开始void Queen(int t){//摆放完成，输出结果if(t>N){way++;/*如果N较大，输出结果会很慢；N较小时，可以用下面代码输出结果for(int i=0;i<N;++i){for(int j=0;j<N;++j)printf("%-3d",Board[i][j]);printf("\n");}printf("\n------------------------\n\n");*/}else{for(int i=0;i<N;++i){for(int j=0;j<N;++j){//（i,j）位置可以摆放皇后，不冲突if(Feasible(i,j)){Board[i][j] = 1;  //摆放皇后tQueen(t+1);       //递归摆放皇后t+1Board[i][j] = 0;  //恢复}}}}} //返回num的阶乘,num!int factorial(int num){if(num==0 || num==1)return 1;return num*factorial(num-1);}  int main(int argc, char* argv[]){//初始化for(int i=0;i<N;++i){for(int j=0;j<N;++j){Board[i][j]=0;}} way = 0; Queen(1);  //从第1个皇后开始摆放 //如果每个皇后都不同printf("考虑每个皇后都不同，摆放方法：%d\n",way);//N=8时, way=3709440 种 //如果每个皇后都一样，那么需要除以 N！出去重复的答案（因为相同，则每个皇后可任意调换位置）printf("考虑每个皇后都不同，摆放方法：%d\n",way/factorial(N));//N=8时, way=3709440/8! = 92种 return 0;}

PS：该问题还有更优的解法。充分利用问题隐藏的约束条件：每个皇后必然在不同的行(列)，每个行(列)必然也只有一个皇后。这样我们就可以把N个皇后放到N个行中，使用Pos[i]表示皇后i在i行中的位置（也就是列号）（i = 0 to N-1）。这样代码会大大的简洁，因为节点的子节点数目会减少，判断冲突也更简单。

4. 迷宫问题

        问题：给定一个迷宫，找到从入口到出口的所有可行路径，并给出其中最短的路径

        分析：用二维数组来表示迷宫，则走迷宫问题用回溯法解决的的思想类似于图的深度遍历。从入口开始，选择下一个可以走的位置，如果位置可走，则继续往前，如果位置不可走，则返回上一个位置，重新选择另一个位置作为下一步位置。

        N表示迷宫的大小，使用Maze[N][N]表示迷宫，值为0表示通道（可走），值为1表示不可走（墙或者已走过）；

        Point结构体用来记录路径中每一步的坐标(x,y)

       (ENTER_X,ENTER_Y) 是迷宫入口的坐标

       (EXIT_X, EXIT _Y)    是迷宫出口的坐标

       Path容器用来存放一条从入口到出口的通路路径

       BestPath用来存放所有路径中最短的那条路径

       Maze()函数用来递归走迷宫，具体步骤为：

       1. 首先将当前点加入路径，并设置为已走
       2. 判断当前点是否为出口，是则输出路径，保存结果；跳转到4
       3. 依次判断当前点的上、下、左、右四个点是否可走，如果可走则递归走该点
       4. 当前点推出路径，设置为可走

       代码：

/************************************************************************  * 名  称：Maze.cpp * 功  能：回溯算法实例：迷宫问题 * 作  者：JarvisChu  * 时  间：2013-11-13  ************************************************************************/ #include <iostream>#include <vector> using namespace std; typedef struct{int x;int y;}Point; #define N 10         //迷宫的大小#define ENTER_X 0    //入口的位置（0，0）#define ENTER_Y 0#define EXIT_X N-1   //出口的位置(N-1,N-1)#define EXIT_Y N-1   int Maze[N][N];//定义一个迷宫，0表示通道，1表示不可走（墙或已走）int paths;//路径条数vector<Point> Path;//保存一条可通的路径vector<Point> BestPath;//保存最短的路径 bool First = true;//标志，找到第一条路径 //初始化迷宫void InitMaze(){//简单起见，本题定义一个固定大小10*10的迷宫//定义一个迷宫，0表示通道，1表示墙(或不可走)int mz[10][10]={{0,0,1,1,1,1,1,1,1,1}, //0{1,0,0,1,1,0,0,1,0,1}, //1{1,0,0,1,0,0,0,1,0,1}, //2{1,0,0,0,0,1,1,0,0,1}, //3{1,0,1,1,1,0,0,0,0,1}, //4{1,0,0,0,1,0,0,0,0,1}, //5{1,0,1,0,0,0,1,0,0,1}, //6{1,0,1,1,1,0,1,1,0,1}, //7{1,1,0,0,0,0,0,0,0,0}, //8{1,1,1,1,1,1,1,1,1,0}  //9    //   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9};  //复制到迷宫memcpy(Maze,mz,sizeof(mz)); paths = 0;} //从(x,y)位置开始走；初始为(0,0)void MazeTrack(int x,int y){/////////////////////////////////////////当前点加入到路径Point p={x,y};Path.push_back(p);Maze[x][y] = 1;         //设置为已走，不可走 //cout<<"来到("<<x<<","<<y<<")"<<endl; /////////////////////////////////////////如果该位置是出口，输出结果if(x == EXIT_X && y== EXIT_Y){cout<<"找到一条道路"<<endl;paths++;//输出路径vector<Point>::iterator it;for(it=Path.begin();it!=Path.end();++it){cout<<"("<<it->x<<","<<it->y<<") ";}cout<<endl; //判断是否更优if(First)//如果是找到的第一条路径，直接复制到最优路径{for(it=Path.begin();it!=Path.end();++it){BestPath.push_back(*it);}First = false;}else //不是第一条，则判断是否更短{//更短，复制到最优路径if(Path.size()<BestPath.size()){BestPath.clear();for(it=Path.begin();it!=Path.end();++it){BestPath.push_back(*it);}}}} /////////////////////////////////////////判断(x,y)位置的上、下、左、右是否可走 if((x-1)>=0 && Maze[x-1][y]==0)//上(x-1,y)；存在且可走{MazeTrack(x-1,y);} if((x+1)<N && Maze[x+1][y]==0)//下(x+1,y)；存在且可走{MazeTrack(x+1,y);} if((y-1)>=0 && Maze[x][y-1]==0)//左(x,y-1)；存在且可走{MazeTrack(x,y-1);} if((y+1)<N && Maze[x][y+1]==0)//右(x,y+1)；存在且可走{MazeTrack(x,y+1);} /////////////////////////////////////////返回上一步Path.pop_back();Maze[x][y] = 0;         //设置为未走}  int main(int argc, char* argv[]){//初始化迷宫InitMaze();/*//显示迷宫for(int i=0;i<N;++i){for(int j=0;j<N;++j)cout<<Maze[i][j]<<"  ";cout<<endl;}*/ //回溯法走迷宫MazeTrack(ENTER_X,ENTER_Y); //显示最优的路径cout<<"可行路径总条数为"<<paths<<"；最优路径为"<<endl;vector<Point>::iterator it;for(it=BestPath.begin();it!=BestPath.end();++it){cout<<"("<<it->x<<","<<it->y<<") ";}cout<<endl;return 0;}

PS：用WPF实现了一个简单的图形化迷宫程序。白色表示通道，红色表示墙，最短的路径用黄色显示。目前实现了一个10*10的迷宫自动搜素最短通路，右侧显示搜索过程中得到的每一个可行通路。
由于构造一个迷宫比较复杂，所以暂时“迷宫设置”功能没有做实现，至于手动一步步查看搜素过程的动画也没有做实现。

实现的大致思路如下：迷宫的数据使用二维数据mazeData表示。迷宫的显示使用Grid控件表示，每个方格处添加一个Rectangle控件，如果该方格mazeData值为0，则填充白色值为1，则填充红色，值为2则填充黄色。

XAML代码为：

<Window x:Class="MazeAnimation.MainWindow"        xmlns="http://schemas.microsoft.com/winfx/2006/xaml/presentation"        xmlns:x="http://schemas.microsoft.com/winfx/2006/xaml"        Title="迷宫" Height="496" Width="673" Loaded="Window_Loaded">    <Grid>        <Grid.RowDefinitions>            <RowDefinition Height="30"></RowDefinition>            <RowDefinition Height="*"></RowDefinition>            <RowDefinition Height="120"></RowDefinition>        </Grid.RowDefinitions>                <Grid.ColumnDefinitions>            <ColumnDefinition Width="463"></ColumnDefinition>            <ColumnDefinition Width="*"></ColumnDefinition>        </Grid.ColumnDefinitions>                <DockPanel Name="dpTips" Grid.Row="0" Grid.ColumnSpan="2" Background="AliceBlue" >            <Label FontSize="16" Foreground="#FFAD1616" HorizontalAlignment="Center">迷宫的动态演示</Label>        </DockPanel>                <Grid Name="gdMaze" Grid.Row="1" Grid.Column="0" HorizontalAlignment="Stretch" VerticalAlignment="Stretch" >                    </Grid>        <ScrollViewer Grid.Row="1" Grid.Column="1"  Margin="5" HorizontalAlignment="Stretch" HorizontalScrollBarVisibility="Auto">            <TextBox Name="tbLog" Background="Beige"></TextBox>        </ScrollViewer>                <DockPanel Name="dpSetting" Grid.Row="2" Grid.Column="0"  VerticalAlignment="Stretch">             <TabControl Name="tcMazeSetting"  Background="#FFE5D9D9" VerticalAlignment="Stretch" HorizontalAlignment="Stretch">                <TabItem Header="迷宫设置" Name="tabItemMaze">                    <Grid>                        <Grid.RowDefinitions>                            <RowDefinition Height="*"></RowDefinition>                            <RowDefinition Height="*"></RowDefinition>                            <RowDefinition Height="*"></RowDefinition>                        </Grid.RowDefinitions>                        <Grid.ColumnDefinitions>                            <ColumnDefinition Width="60"></ColumnDefinition>                            <ColumnDefinition Width="*"></ColumnDefinition>                        </Grid.ColumnDefinitions>                                                <Label Content="大小："  Name="label1" Grid.Row="0" Grid.Column="0"/>                        <Label Content="入口："  Name="label2" Grid.Row="1" Grid.Column="0"/>                        <Label Content="出口："  Name="label3" Grid.Row="2" Grid.Column="0"/>                                                                                           <StackPanel Grid.Row="0" Grid.Column="1" Orientation="Horizontal">                            <Label Content="高："></Label>                            <TextBox Name="tbMazeHeight" HorizontalAlignment="Left" MinWidth="40"></TextBox>                            <Label Content="宽："></Label>                            <TextBox Name="tbMazeWidth" HorizontalAlignment="Left" MinWidth="40"></TextBox>                        </StackPanel>                        <StackPanel Grid.Row="1" Grid.Column="1" Orientation="Horizontal">                            <Label Content="X="></Label>                            <TextBox Name="tbEnterX" HorizontalAlignment="Left" MinWidth="40"></TextBox>                            <Label Content="Y="></Label>                            <TextBox Name="tbEnterY" HorizontalAlignment="Left" MinWidth="40"></TextBox>                        </StackPanel>                        <StackPanel Grid.Row="2" Grid.Column="1" Orientation="Horizontal">                            <Label Content="X="></Label>                            <TextBox Name="tbExitX" HorizontalAlignment="Left" MinWidth="40"></TextBox>                            <Label Content="Y="></Label>                            <TextBox Name="tbExitY" HorizontalAlignment="Left" MinWidth="40"></TextBox>                        </StackPanel>                    </Grid>                                    </TabItem>                <TabItem Header="演示设置" Name="tabItemDemo">                    <StackPanel Orientation="Vertical" HorizontalAlignment="Stretch">                        <CheckBox Name="cbAutoRun" Content="自动执行" Margin="10"></CheckBox>                        <StackPanel Orientation="Horizontal">                            <Label Content="执行速度:" Margin="10"></Label>                            <TextBox Name="tbAutoRunSpeed" MinWidth="50" Margin="10"></TextBox>                            <Label Content="毫秒" Margin="0,10,0,10"></Label>                        </StackPanel>                    </StackPanel>                </TabItem>            </TabControl>        </DockPanel>                <StackPanel Orientation="Horizontal" Grid.Row="2" Grid.Column="1" HorizontalAlignment="Center">            <Button Name="btnStart" Content="自动开始" Height="40" Width="70" Margin="5" Click="btnStart_Click"></Button>            <Button Name="btnNext" Content="手动下一步" Height="40" Width="70" Margin="5" Click="btnNext_Click"></Button>        </StackPanel>    </Grid></Window>

对应的MainWindow.xaml.cs代码为：

using System;using System.Collections.Generic;using System.Linq;using System.Text;using System.Windows;using System.Windows.Controls;using System.Windows.Data;using System.Windows.Documents;using System.Windows.Input;using System.Windows.Media;using System.Windows.Media.Imaging;using System.Windows.Navigation;using System.Windows.Shapes;namespace MazeAnimation{    /// <summary>    /// Interaction logic for MainWindow.xaml    /// </summary>    public partial class MainWindow : Window    {        public struct Point        {            public int x;            public int y;            public Point(int a, int b) { x = a; y = b; }        };        public bool bAutoRun = true;        public int mazeHeight = 10;        public int mazeWidth = 10;        int[,] mazeData = new int[10, 10]            {                {0,0,1,1,1,1,1,1,1,1}, //0                {1,0,0,1,1,0,0,1,0,1}, //1                {1,0,0,1,0,0,0,1,0,1}, //2                {1,0,0,0,0,1,1,0,0,1}, //3                {1,0,1,1,1,0,0,0,0,1}, //4                {1,0,0,0,1,0,0,0,0,1}, //5                {1,0,1,0,0,0,1,0,0,1}, //6                {1,0,1,1,1,0,1,1,0,1}, //7                {1,1,0,0,0,0,0,0,0,0}, //8                {1,1,1,1,1,1,1,1,1,0}  //9            //   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9            };        public int enterX = 0;        public int enterY = 0;        public int exitX = 9;        public int exitY = 9;        public int runSpeed = 100;        public int paths = 0; //总条数        public Stack<Point> path = new Stack<Point>(); //一条找到的路径        public Stack<Point> bestPath = new Stack<Point>();//最优路径        public bool bFrist = true;        public MainWindow()        {            InitializeComponent();        }        //显示迷宫，白色0表示通道，红色1表示不可走，黄色2表示最优的路径，绿色3表示已经走过的路径        private void DisplayMaze()        {            gdMaze.Children.Clear();            //设置可走和不可走            for (int i = 0; i < mazeHeight; i++)            {                for (int j = 0; j < mazeWidth; j++)                {                    Rectangle rect = new Rectangle();                    rect.SetValue(Grid.RowProperty, i);                    rect.SetValue(Grid.ColumnProperty, j);                    if (mazeData[i, j] == 0)                    {                        rect.Fill = Brushes.White;                    }                    else if (mazeData[i, j] == 1)                    {                        rect.Fill = Brushes.Red;                    }                    else if (mazeData[i, j] == 2)                    {                        rect.Fill = Brushes.Yellow;                    }                    else if (mazeData[i, j] == 3)                    {                        rect.Fill = Brushes.Blue;                    }                    gdMaze.Children.Add(rect);                }            }        }        //初始化迷宫        private void InitMaze()        {            gdMaze.Background = Brushes.LightGray;            gdMaze.ShowGridLines = true;            for (int i = 0; i < mazeHeight; i++)            {                gdMaze.RowDefinitions.Add(new RowDefinition());            }            for (int i = 0; i < mazeWidth; i++)            {                gdMaze.ColumnDefinitions.Add(new ColumnDefinition());            }            DisplayMaze();        }        //从(x,y)位置开始走；初始为(0,0)        private void MazeTrack(int x, int y)        {            ///////////////////////////////////////            //当前点加入到路径            Point p = new Point(x, y);            path.Push(p);            mazeData[x, y] = 3;         //设置为已走，不可走                       //DisplayMaze();            //System.Threading.Thread.Sleep(runSpeed);//休眠            ///////////////////////////////////////            //如果该位置是出口，输出结果            if (x == exitX && y == exitY)            {                string msg = "找到一条道路(逆序)\n";                tbLog.AppendText(msg);                paths++;                //输出路径                foreach (Point pnt in path)                {                    msg = "(" + pnt.x + "," + pnt.y + ")";                    tbLog.AppendText(msg);                }                tbLog.AppendText("\n\n");                //判断是否更优                if (bFrist)//如果是找到的第一条路径，直接复制到最优路径                {                    foreach (Point pnt in path)                    {                        bestPath.Push(pnt);                    }                    bFrist = false;                }                else //不是第一条，则判断是否更短                {                    //更短，复制到最优路径                    if (path.Count < bestPath.Count)                    {                        bestPath.Clear();                        foreach (Point pnt in path)                        {                            bestPath.Push(pnt);                        }                    }                }            }            ///////////////////////////////////////            //判断(x,y)位置的上、下、左、右是否可走            if ((x - 1) >= 0 && mazeData[x - 1, y] == 0)//上(x-1,y)；存在且可走            {                MazeTrack(x - 1, y);            }            if ((x + 1) < mazeHeight && mazeData[x + 1, y] == 0)//下(x+1,y)；存在且可走            {                MazeTrack(x + 1, y);            }            if ((y - 1) >= 0 && mazeData[x, y - 1] == 0)//左(x,y-1)；存在且可走            {                MazeTrack(x, y - 1);            }            if ((y + 1) < mazeWidth && mazeData[x, y + 1] == 0)//右(x,y+1)；存在且可走            {                MazeTrack(x, y + 1);            }            ///////////////////////////////////////            //返回上一步            path.Pop();            mazeData[x, y] = 0;         //设置为未走            //DisplayMaze();            //System.Threading.Thread.Sleep(runSpeed);//休眠        }        private void Window_Loaded(object sender, RoutedEventArgs e)        {            //初始化变量            tbMazeHeight.Text = mazeHeight.ToString();            tbMazeWidth.Text = mazeWidth.ToString();            tbEnterX.Text = enterX.ToString();            tbEnterY.Text = enterY.ToString();            tbExitX.Text = exitX.ToString();            tbExitY.Text = exitY.ToString();            cbAutoRun.IsChecked = bAutoRun;            tbAutoRunSpeed.Text = runSpeed.ToString();            //初始化迷宫            InitMaze();        }        //点击开始        private void btnStart_Click(object sender, RoutedEventArgs e)        {            string msg = "开始走迷宫\n";            tbLog.AppendText(msg);            MazeTrack(enterX, enterY);            //显示最优的路径            msg = "\n可行路径总条数为" + paths + "\n最优路径为\n";            tbLog.AppendText(msg);            foreach (Point pnt in bestPath)            {                msg = "(" + pnt.x + "," + pnt.y + ")";                tbLog.AppendText(msg);                mazeData[pnt.x, pnt.y] = 2;            }            DisplayMaze();        }        //下一步        private void btnNext_Click(object sender, RoutedEventArgs e)        {            string msg = "手动开始走迷宫 暂未实现\n";            tbLog.AppendText(msg);        }    }}

参考文献： 《计算机算法设计与分析》（王晓东）

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作者 ：JarvisChu

出处：http://blog.csdn.net/jarvischu