zoj2674 Strange Limit 欧拉函数的应用

做了一个下午的题目，感觉好难，转载一下 分析过程

http://www.cnblogs.com/ybrbupt/archive/2011/08/31/2161372.html

大意：求a^a..a%m!的极限。

欧拉定理的内容是：如果a和n互质，那么a^φ(n)=1(mod n)；对于任意a, n和较大的b，有a^b=a^(φ(n)+b) modφ(n)(mod n)

我们设a^a..a=A

则有A=a^{φ(n)+A mod φ(n)}(mod n)

这样就可以递归求解。因为φ(n)<n,所以这样递归一定有边界。

接下来就是上欧拉函数模版，素数筛模版了。。

另：要用longlong，不然会悲剧。。

PS：还跟watashi大神学习了每组数据之间分空行，最后一组数据后面没有空行怎么打的问题~~

以上是一个博客里的分析，至于那句b较大可以推出另一个公式 可以看这里，AC大神曾经证过：http://blog.csdn.net/jayye1994/article/details/9631031

一开始做 直接套了以前的模版结果SF了，因为 12！已经超了能开数组的最大范围了所以SF，贴一下SF的代码

#include<iostream>#include<cstdio>#include<list>#include<algorithm>#include<cstring>#include<string>#include<queue>#include<stack>#include<map>#include<vector>#include<cmath>#include<memory.h>#include<set>#define ll long long#define LL __int64#define eps 1e-8//const ll INF=9999999999999;#define inf 0xfffffffusing namespace std;//vector<pair<int,int> > G;//typedef pair<int,int> P;//vector<pair<int,int>> ::iterator iter;////map<ll,int>mp;//map<ll,int>::iterator p;////vector<int>G[30012];//筛选法 同时求出了n以内的素数const int N=300010;ll phi[N+10];//sum[N+10];bool prime[N+10];void init(){ll i,j;memset(prime,true,sizeof(prime));prime[0]=prime[1]=false;for(i=2;i*i<=N;i++){if(prime[i]){for(j=i*i;j<=N;j+=i){prime[j]=false;}}} //这段求出了N内的所有素数for(i=1;i<=N;i++){phi[i]=i;}//sum[0]=0;//sum[1]=phi[1];for(i=2;i<=N;i++){if(prime[i]){for(j=i;j<=N;j+=i){phi[j]=phi[j]/i*(i-1); //此处注意先/i再*（i-1)，否则范围较大时会溢出}}//sum[i]=sum[i-1]+phi[i];}}//这段求出了N内所有数的欧拉函数值ll fac(ll m)//求m!{ll ans=1;for(ll i=2;i<=m;i++)ans*=i;return ans;}ll quick(ll p,ll n,ll m){if(n==0)return 1%m;if(n==1)return p%m;p%=m;ll ans=quick(p,n/2,m)%m;ans=(ans*ans)%m;if(n&1)ans=ans*p%m;return ans%m;}ll cal(ll p,ll m){if(m==1)return 0;else{ll tmp=phi[m];return quick(p,tmp,m)*quick(p,cal(p,tmp),m);}}int main(void){init();ll p,m;bool flag=false;while(~scanf("%lld %lld",&p,&m)){ll MOD=fac(m);if(flag)puts("");if(MOD==1)printf("%d\n",0);else{ll ans=cal(p,MOD)%MOD;printf("%lld\n",ans);}flag=true;}}

以上是 SF的代码，其实主要思路都对了 ，主要是 求欧拉函数值的问题，由于m最大为12，12！已经超了能开的数组最大范围了，就是能开我也觉的 爆内存，所以要有其它的求的方法，根据欧拉函数基本性质 有一个直接求值的 函数，但是那个很耗时间，当然可以过本题，希望时间降到最小，最后参考了  人家的 写了个出来，他是先求出 3000以内的素数保存起来，然后求欧拉函数值就会快很多，这个求素数的 函数 跟 求欧拉函数值的 函数 其实完全可以作为模版保存起来，肯定是一个 很常用的方法，保存下来 以后多种方法

#include<iostream>#include<cstdio>#include<list>#include<algorithm>#include<cstring>#include<string>#include<queue>#include<stack>#include<map>#include<vector>#include<cmath>#include<memory.h>#include<set>#define ll long long#define LL __int64#define eps 1e-8const ll INF=9999999999999;#define inf 0xfffffffusing namespace std;//vector<pair<int,int> > G;//typedef pair<int,int> P;//vector<pair<int,int>> ::iterator iter;////map<ll,int>mp;//map<ll,int>::iterator p;////vector<int>G[30012];const int N=30010;ll prime[3012];bool isprime[N];ll cnt;void init()//这段求出了N内的所有素数{ll i,j;for(i=2;i<=N;i++){if(!isprime[i])prime[cnt++]=i;for(j=0;j<cnt && i*prime[j]<=N;j++){isprime[i*prime[j]]=true;}} cnt--;isprime[1]=true;}ll euler(ll n)//这里利用上面求出来的 素数来进行求解就会快很多，{ll i;ll tempn=n;ll ans=n;for(i=0;i<=cnt && prime[i]*prime[i]<=n;i++){if(n%prime[i]==0){ans=ans/prime[i]*(prime[i]-1);while(tempn%prime[i]==0)tempn/=prime[i];}}if(tempn>1)ans=ans/tempn*(tempn-1);return ans;}ll fac(ll m)//求m!{ll ans=1;for(ll i=2;i<=m;i++)ans*=i;return ans;}ll quick(ll a, ll b,ll m){ll ans=1;while(b){if(b&1){ans=(ans*a)%m;b--;}b/=2;a=a*a%m;}return ans;}ll cal(ll p,ll m){if(m==1)return 0;else{ll tmp=euler(m);return quick(p,tmp,m)*quick(p,cal(p,tmp),m);}}int main(void){init();ll p,m;bool flag=false;while(~scanf("%lld %lld",&p,&m)){ll MOD=fac(m);if(flag)puts("");if(MOD==1)printf("%d\n",0);else{ll ans=cal(p,MOD)%MOD;printf("%lld\n",ans);}flag=true;}}