c++实现二分查找

简要描述

二分查找又称折半查找，对排好序的数组，每次取这个数和数组中间的数进行比较，复杂度是O(logn)如:设数组为a[n],查找的数x,

如果x==a[n/2]，则返回n/2;

如果x < a[n/2]，则在a[0]到a[n/2-1]中进行查找；

如果x > a[n/2]，则在a[n/2+1]到a[n-1]中进行查找；

优点是比较次数少，查找速度快，平均性能好；其缺点是要求待查表为有序表，且插入删除困难。

条件：查找的数组必须要为有序数组。

 

二种实现方式

 

1.递归

/*归的二分查找arrat：数组 ， low:上界；  high:下界;  target:查找的数据； 返回target所在数组的下标 */int binarySearch(int array[], int low, int high, int target) {int middle = (low + high)/2;if(low > high) {return -1;}if(target == array[middle]) {return middle;}if(target < array[middle]) {return binarySearch(array, low, middle-1, target);}if(target > array[middle]) {return binarySearch(array, middle+1, high, target);} }

2.非递归（循环）

/*非递归的二分查找 arrat：数组 ， n:数组的大小;  target:查找的数据； 返回target所在数组的下标 */int binarySearch2(int array[], int n, int target) {int low = 0, high = n, middle = 0;while(low < high) {middle = (low + high)/2;if(target == array[middle]) {return middle;} else if(target < array[middle]) {high = middle;} else if(target > array[middle]) {low = middle + 1;}}return -1;}

推荐使用非递归的方式，因为递归每次调用递归时有用堆栈保存函数数据和结果。能用循环的尽量不用递归。

 

二分查找的应用

还是对上一篇博文《C++如何跳出多层循环》中提到的抽签问题进行分析。

上一篇博文中是进行了四重循环的嵌套，基时间复杂度是O(n4)，数据大时其计算量会大的惊人。为便于分析，将之前代码帖至如下：

**抽签问题解决方案，复杂度n^4 */ void  drawLots() {   //从标准输入读入   int numOfCard, sum;   int k[MAX_N];   cout<<"输入numOfCard和sum"<<endl;   cin>>numOfCard>>sum;    cout<<"请输入这sum张卡片的数字"<<endl;   for(int i=0; i<numOfCard; i++) {cin>>k[i];   }   bool result = false;   bool isBreakLoop = true;   int _sum = 0;   for(int a = 0; a < numOfCard && isBreakLoop; a ++) {      for(int b = 0; b < numOfCard && isBreakLoop; b ++) {          for(int c = 0; c < numOfCard && isBreakLoop; c++) {              for(int d = 0; d < numOfCard && isBreakLoop; d ++) {              _sum = k[a] + k[b] + k[c] + k[d];                  if(_sum == sum) {result = true;isBreakLoop = false;                  }               }          }      }   }   cout << "_sum:" << _sum << "  " << "sum:" << sum << endl;   if(result){   cout<<"Yes"<<endl;   } else    cout<<"No"<<endl;}

最内层循环所做事如下：

Ka + kb + kc + kd = m

移项后如下:

Kd = m - (Ka + kb + kc)

到第四层循环时，其实Ka ，kb，kc已经知道，那问题也就变成了对kd的查找，我们可用上面讲的二分查找，复杂度就降为O(n3logn).实现如下：

降低复杂度的实现

/**抽签问题 解决方案，复杂度n^3 * log(n)*/ void drawLots2() {int numOfCard, sum;int k[MAX_N];cout<<"输入numOfCard和sum"<<endl;    cin>>numOfCard>>sum;     cout<<"请输入这sum张卡片的数字"<<endl;    for(int i=0; i<numOfCard; i++) {cin>>k[i];    }    //对数组进行排序     sort(k, k + numOfCard);int index = -1;    bool isBreakLoop = true;    for(int a = 0; a < numOfCard && isBreakLoop; a ++) {    for(int b = 0; b < numOfCard && isBreakLoop; b ++) {        for(int c = 0; c < numOfCard && isBreakLoop; c++) {        index = binarySearch2(k, numOfCard, sum - (k[a] + k[b] + k[c]));            if(index >= 0) {isBreakLoop = false;                }          }      }}   if(index >= 0){   cout<<"Yes"<<endl;   } else    cout<<"No"<<endl;}

进一步优化[O(n2logn)]

根据上一步的优化方式，我们可以进一步对内侧两层循环(也就是第三层和第四层)进行思考：

Kc+ kd = m - (Ka + kb )

我们不能直接对Kc+ kd进行查找，但是可以预先枚举出Ka + kb 的n2种数值并排序，再对Kc+ kd进行十分查找。列出枚举O(n2)，排序O(n2logn), 循环O(n2logn)，所以总的复杂度降为O(n2logn)，实现如下：

/**抽签问题 解决方案，复杂度n^2 * log(n)*/ void drawLots3() {int numOfCard, sum;int k[MAX_N];cout<<"输入numOfCard和sum"<<endl;    cin>>numOfCard>>sum;     cout<<"请输入这sum张卡片的数字"<<endl;    for(int i=0; i<numOfCard; i++) {cin>>k[i];    }    int cdNum = numOfCard*(numOfCard+1)/2;    int cdSum[cdNum];    int i = 0;    for(int a=0; a<numOfCard; a++) {    for(int b=i; b<numOfCard; b++) {    cdSum[i ++] = k[a] + k[b];    }    }    //对数组进行排序     sort(cdSum, cdSum + cdNum);int index = -1;    bool isBreakLoop = true;    for(int a = 0; a < numOfCard && isBreakLoop; a ++) {    for(int b = 0; b < numOfCard && isBreakLoop; b ++) {        for(int c = 0; c < numOfCard && isBreakLoop; c++) {        index = binarySearch2(cdSum, cdNum, sum - (k[a] + k[b]));            if(index >= 0) {isBreakLoop = false;                }          }      }}   if(index >= 0){   cout<<"Yes"<<endl;   } else    cout<<"No"<<endl;}

进一步思考

上面枚举Ka + kb 时其实是有重复的，因为k[i] + k[j] == k[j] + k[i]，去除重复值之后，Ka + kb 值的个数是n(n+1)/2。至于n(n+1)/2怎么来，可以简单推导如下：

N     M

1     1

2      2+1

3     3+2+1

4     4+ 3+2+1

......

实现如下：

/**抽签问题 解决方案，复杂度n^2 * log(n)*/ void drawLots3_1() {int numOfCard, sum;int k[MAX_N];cout<<"输入numOfCard和sum"<<endl;    cin>>numOfCard>>sum;     cout<<"请输入这sum张卡片的数字"<<endl;    for(int i=0; i<numOfCard; i++) {cin>>k[i];    }    int cdNum = numOfCard*numOfCard;    int cdSum[cdNum];    for(int a=0; a<numOfCard; a++) {    for(int b=0; b<numOfCard; b++) {    cdSum[a*numOfCard + b] = k[a] + k[b];    }    }    //对数组进行排序     sort(cdSum, cdSum + cdNum);int index = -1;    bool isBreakLoop = true;    for(int a = 0; a < numOfCard && isBreakLoop; a ++) {    for(int b = 0; b < numOfCard && isBreakLoop; b ++) {        for(int c = 0; c < numOfCard && isBreakLoop; c++) {        index = binarySearch2(cdSum, cdNum, sum - (k[a] + k[b]));            if(index >= 0) {isBreakLoop = false;                }          }      }}   if(index >= 0){   cout<<"Yes"<<endl;   } else    cout<<"No"<<endl;}