poj 3146 Interesting Yang Hui Triangle（lucas定理的应用）

来源：互联网发布：陌陌八格切图软件编辑：程序博客网时间：2024/06/05 09:24

题意：杨辉三角第n+1行有多少数不被p整除？？

解析：

lucas定理：设p为质数，a，b为两正整数，且a,b在p进制下表示为 a=(ak……,a0),b=(bk……,b0) 0=<ai,bi<p
证明 c[a,b]=c[ak,bk]*……*c[a0,b0](mod p)
证：

p为质数时易证 (1+x)^p=1+x^p(mod p)

(1+x)^a=(1+x)^(ak*p^k)……(1+x)^(a0) （mod p）
=(1+x^(p^k))^ak……(1+x)^a0（mod p）（1）
x^b在（1）右边式子的系数为c[ak,bk]*……*c[a0,b0]。
从而的证 c[a,b]=c[ak,bk]*……*c[a0,b0](mod p)

根据这个结论我们可知c[a,b]=0(mod p) 当且仅当存在bi>ai，而我们知道题目所求的bi是从c（n，0）一直到c（N,N），所以包括所有的ai ，而对于其中的一个b有 ai+1中取法，所有的即为 TT(ai+1)

所以c[n,m]不被p整除的数有 TT(ai+1) (0=<i<=k)个。

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