算法导论 5.3-1

1 问题

Marceau教授对引理5.5证明过程中使用的循环不变式表示异议。他对在第一次迭代之前循环不变式是否为真提出质疑。他的理由是人们可以容易地宣称空数组不包含0排列。因此空数组包含0排列的概率应该是0。所以第一次迭代之前循环不变式无效。请改写过程RANDOMIZE-IN-PLACE，使其相关的循环不变式在第一次迭代之前对非空数组仍使用，并为你的过程修改引理5.5的证明。

2 分析与解答

在循环的第一次迭代之前使循环不变式的数组不为空。

RANDOMIZE-IN-PLACE(A)    n <- length[A]    swap A[1] <-> A[RANDOM(1, n)]    for i <- 2 to n        do swap A[i] <-> A[RANDOM(i, n)]

证明：改写引理5.5的循环不变式为： 在循环的第i次迭代开始前，对每个可能的(i-1)排列，在A[1…i-1]中出现的概率是(n-i+1)!/n!; 初始化：在循环的第1次迭代开始前，i=2，A[i-1] = A[ 1]，由代码可知，此时A[1 ]中随机的包含A中元素的1排列， 满足循环不变式; 保持：假设在循环的第i次迭代开始前，循环满足不变式，即A中的元素的(i-1)排列，在A[1…i-1]中出现的概率是(n-i+1)!/n!，第i次循环，随机选择A[i…n]中元素的一个1排列赋值到A[i]，那么每个1排列出现在A[i]中的概率是1/(n-i+1)，考察第i次循环结束后序列A[1…i]，由于A[1…i-1]是A中元素的一个i-1排列，A[i]只能从除去这i-1个元素的剩余元素中选择，所以A[1…i]是A中元素的一个i排列，而这个i排列出现在A[1…i]中的概率为A中元素的一个(i-1)排列出现在A[1…i-1]中的概率乘以剩余元素的一个1排列出现的概率，即为(n-i+1)!/n! * 1/(n-i+1)= (n-i)!/n!=(n-((i+1)-1))!/n!，所以在第i+1次迭代开始前，满足循环不变式; 终止：此时，i=n+1，按照不变式A[1…n]中存储着A中元素的一个n排列，而且每个n排列出现的概率为(n-(n+1)+1)!/n!= 1/n!，也就是说过程RANDOMIZE-IN-PALCE生成了均匀随机序列。