经典算法之不定方程问题

来源：互联网发布：淘宝客服班培训多少钱编辑：程序博客网时间：2024/05/16 11:26

所谓不定方程，是指未知数个数多于方程个数，且对解都有一定的限制。

首先，来看一道经典的数学问题“百钱买鸡”问题。

中国古代数学家张丘建在他的《算经》中提出了著名的“百钱买鸡”问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买鸡，问翁、母、雏各几何？

意思是：公鸡5文钱1只，母鸡3文钱1只，小鸡3只1文钱，要求100文钱买100只鸡，求公鸡、母鸡和小鸡应该各买多少只？

其实这是一道不定方程问题，有两个条件：一是用的钱数正好是100文；二是买鸡的数量正好是100只。设买公鸡、母鸡和小鸡分别为x、y、z只，则可列出一下方程：

x+y+z = 100

5x+3y+z/3 = 100

根据这两个公式，通过计算机的穷举算法即可求得结果。

代码一：

[cpp] view plaincopy
void BuyChicken()  
{  
    int x,y,z;  
    for(x = 0; x <= 20; x++)  
    {  
        for(y = 0; y <= 33; y++)  
        {  
            z = 100 - x - y;  
            if(z % 3 == 0 && x*5 + y*3 + z/3 == 100)  
            {  
                printf("公鸡：%d,母鸡：%d,小鸡：%d\n",x,y,z);  
            }  
        }  
    }  
}  

以上的算法并不是最佳的，深入分析，4只公鸡值20文钱，3只小鸡值1文钱，合起来鸡数是7，钱数是21；而7只母鸡的钱数也正好是21.如果少买7只鸡，就可以用这笔钱多买4值公鸡和3只小鸡。这样，百钱还是百钱，百鸡还是百鸡。所以，只要求出一个答案，根据这个规则，马上就可以求出其他的答案出来。

设一个参数看，则有：

x = 4k;

y = 25 - 7k;

z = 75 + 3k;

因为鸡的数量x、y、z都只能是正数，所以满足式子的k值只能是0、1、2、3.

代码二：

[cpp] view plaincopy
<span style="font-size:18px">void BuyChicken2()  
{  
    int x,y,z,k;  
    for(k = 0; k <= 3; k++)  
    {  
        x = 4*k;  
        y = 25 - 7*k;  
        z = 100 - x - y;  
        printf("公鸡：%d,母鸡：%d,小鸡：%d\n",x,y,z);  
    }  
}</span>  

其次，还有大家都非常熟悉的趣味数学题“鸡兔同笼”问题。

问题的描述是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼子中有多少只鸡和多少只兔？

这个问题用穷举法可以解决，设有鸡x只，兔y只，则有方程：

x + y = 35;

2x + 4y = 94;

代码三：

[cpp] view plaincopy
<span style="font-size:18px">void Chook_Rabbit()  
{  
    int chook,rabbit,head,foot;  
    printf("请输入头数和脚数：");  
    scanf("%d%d",&head,&foot);  
    for(chook = 0; chook <= head; chook++)  
    {  
        rabbit = head -chook;  
        if(chook * 2 + rabbit * 4 == foot)  
        {  
            printf("鸡有：%d只，兔子有：%d只。",chook,rabbit);  
        }  
    }  
}</span>  

仔细分析，还有更简单的方法，用奥数中的知识：

将每个头都按2只算（则认为都是鸡），则剩下的足就是兔子的另两只，则只需要将剩下的足除以2即可得到兔子的数量。

代码四：

[cpp] view plaincopy
<span style="font-size:18px">void Chook_Rabbit1()  
{  
    int chook,rabbit,head,foot;  
    printf("请输入头数和脚数：");  
    scanf("%d%d",&head,&foot);  
    rabbit = (foot - 2*head)/2;  
    chook = head - rabbit;  
    printf("鸡有：%d只，兔子有：%d只。",chook,rabbit);  
}</span>  

最后再来看一道著名的“五家共井”问题。

问题的描述：今有五家共井，甲二绠不足如乙一绠，乙三绠不足如丙一绠，丙四绠不足如丁一绠，丁五绠不足如戊一绠，戊六绠不足如甲一绠。如各得所不足一绠，皆逮。问井深、绠长几何？（题中：“绠”是汲水桶上的绳索，“逮”是到达井底水面的意思。）

意思是：现在有5家共用一口井，甲、乙、丙、丁、戊5家各有一条绳子打水，设各家绳子的长度分别为len1,len2,len3,len4,len5,井深len，则以上条件可以表示为下面的方程：

len1*2+len2 = len;

len2*3+len3 = len;

len3*4+len4 = len;

len4*5+len5 = len;

len5*6+len1 = len;

求井的深度和各家打水所用绳子的长度。

根据上面的方程可得到一下算式：

len1*2 + len2 = len2*3+len3 = len3*4+len4 = len4*5 +len5 = len5*6+len1

由以上算式可以推出：

len1 = len2 + len3/2

len2 = len3 + len4/3

len3 = len4 + len5/4

len4 = len5 + len1/4

根据以上列出的这些算式，可枚举各种情况，最后得出结果。

代码五：

[cpp] view plaincopy
<span style="font-size:18px">void Length()  
{  
    int len1,len2,len3,len4,len5,len,flag;  
    flag = 1;  
    len5 = 0;  
    while(flag)  
    {  
        len5 += 4;  //len5为4的倍数  
        len1 = 0;  
        while(flag)  
        {  
            len1 += 5;                   //len1为5的倍数  
            len4 = len5 + len1/5;        //丁家井绳长  
            len3 = len4 + len5/4;        //丙家井绳长  
            if(len3 % 2)                 //若不能被2整除  
                continue;   
            if(len4 % 3)                 //若不能被3整除  
                continue;  
            len2 = len3 + len4/3;  
            if(len2 + len3 / 2 < len1)   //不符合条件  
                break;  
            if(len2 +len3 / 2 == len1)   //符合条件  
                flag = 0;  
        }  
    }  
    len = 2*len1 + len2;  
    printf("各家井绳长度分别为：\n");  
    printf("甲：%d\n",len1);  
    printf("乙：%d\n",len2);  
    printf("丙：%d\n",len3);  
    printf("丁：%d\n",len4);  
    printf("戊：%d\n",len5);  
    printf("井深：%d\n",len);  
}</span>  

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