n后问题

一、问题的描述

在n×n的国际象棋棋盘中放置彼此不受攻击的那个皇后，按照规则，如果n个皇后不互受攻击，则任何一个皇后不能跟其它皇后在棋盘的同一行或同一列，也不能在斜对角。

二、问题的分析

1，解的假设

自己可以动手画一个4*4的棋盘，然后将尝试将4个皇后放进棋盘，可以有两种解决方案：

      

显然，通过一步步尝试，解决该问题要用到回溯法，并且解的形式满足m叉树（还有另外两种是子集树和排列树），然后通过上述的限制条件剪去一些不满条件的枝（同行或同列，斜对角），问题的搜索空间深度为n（皇后的个数，严格的说应该是棋盘的列数，这里皇后的个数与期盼的列数相等）

2，确定解空间

a，根据上面的解的假设，可以定义解的形式为{x1,x2,…xi…,xn}其中xi表示在第i行xi的当前取值

b，满m叉树，深度为n

c，限制条件，n个皇后不互受攻击（不能同一列：xi != xt；不能是斜对角：|t - i| != |xt - xi|；t是用来控制深度搜索；这里无需考虑在同一行的情况）

三、代码实现

本例使用java语言实现

public class TraceBack {final static int N = 8;static long sum = 0;static void print(int[] gezi) {for(int i = 1;i <= N;i++) {for(int j = 1;j <= N;j++) {if(gezi[i]!=j){System.out.print(" - ");}else{System.out.print(" " + gezi[i] + " ");}}System.out.println();}System.out.println();}//用于判断皇后位置是否合法static boolean place(int[] x,int t) {for(int i = 1;i < t;i++) {//斜对角或同列if(Math.abs(x[t] - x[i]) == Math.abs(t - i) || x[t] == x[i]) return false;}return true;}static void btrack(int[] x, int t) {if(t > N) {sum++;print(x);}elsefor(int i = 1;i <= N;i++) {x[t] = i;if(place(x,t)) btrack(x,t + 1);}}/** * @param args */public static void main(String[] args) {//4×4的九宫格的回溯int[] x = new int[N + 1];btrack(x,1);System.out.println(TraceBack.sum);}}

四，结果分析

将上述代码运行，发现当n = 8时，sum = 92；当n = 16时，结果就相当大了，运行半天还没有运行完！