时间序列分析之二：基本模型

时间序列建模的基本步骤如下

步骤一：对数据进行平稳性和高斯性检验

步骤二：如果非平稳和非高斯，需要进行平稳化处理

步骤三：根据自相关函数、偏相关函数、功率谱密度的特点选择特定的时间序列模型

步骤四：模型阶数的确定

步骤五：模型参数的确定

步骤六：模型正确性的检验

        时间序列模型建立在随机序列平稳性和白噪声激励的假设之上，这是因为实际的随机系统的数据大多都符合平稳性条件（期望为常数、相关函数只与间隔有关）。即线性平稳模型以随机差分方程为特点，意义为以白噪声作为激励通过线性滤波器的输入输出结果。

        随机差分方程可以写成此时的数据与所有时刻的白噪声的线性组合，也可以写成历史时刻的数据与此时刻的白噪声的线性组合，以差分算子为基础可以写成代数方程（也可以理解为Z变换）。

但是上述表示方法包含无穷多个参量，不具有实际意义，选择有限参数作为常用模型，包括：AR模型、MA模型、ARMA模型等（Auto-regress-moving-average）。

        由于时间序列模型的自相关函数、功率谱密度、偏相关函数、格林函数、逆格林函数是时间序列模型的特征函数。

通过对随机差分方程计算自相关函数可以将随机序列转化为确定的（关于自相关函数）差分方程，就可以采用确定的差分方程进行求解。而模型的功率谱密度同数字信号处理的Z变换，将差分算子B替换为e(-jw),再取模的平方即可。

偏相关函数与自相关函数是互逆的，格林函数是冲激响应，表示历史噪声对响应的影响，或者理解为记忆深度与强度。

对于不满足线性平稳的统计模型，可以通过平稳化处理，再利用之前的线性平稳模型进行处理。通过求d阶差分，将数据平稳化，得到ARIMA、IMA、ARI模型等。