牛顿法求方程根
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牛顿法
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牛顿法(Newton's method)又称为牛顿-拉弗森方法(Newton-Raphson method),它是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。方法使用函数的泰勒级数的前面几项来寻找方程的根。
目录
- 1起源
- 2方法说明
- 3其它例子
- 3.1第一个例子
- 3.2第二个例子
起源
牛顿法最初由艾萨克·牛顿在《流数法》(Method of Fluxions,1671年完成,在牛顿死后的1736年公开发表)。约瑟夫·拉弗森也曾于1690年在Analysis Aequationum中提出此方法。
方法说明
首先,选择一个接近函数零点的,计算相应的和切线斜率(这里表示函数的导数)。然后我们计算穿过点并且斜率为的直线和轴的交点的坐标,也就是求如下方程的解:
我们将新求得的点的坐标命名为,通常会比更接近方程的解。因此我们现在可以利用开始下一轮迭代。迭代公式可化简为如下所示:
已经证明,如果是连续的,并且待求的零点是孤立的,那么在零点周围存在一个区域,只要初始值位于这个邻近区域内,那么牛顿法必定收敛。 并且,如果不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能. 粗略的说,这意味着每迭代一次,牛顿法结果的有效数字将增加一倍。
其它例子
第一个例子
求方程f(x) = cos(x) − x3的根。两边求导,得f '(x) = −sin(x) − 3x2。由于-1 ≤ cos(x) ≤ 1(对于所有x),则-1 ≤x3 ≤ 1,即-1 ≤ x ≤ 1,可知方程的根位于0和1之间。我们从x0 = 0.5开始。
第二个例子
牛顿法亦可发挥与泰勒展开式,对于函式展开的功能。
求a的m次方根。
- a= 0
设,
而a的m次方根,亦是x的解,
以牛顿法来迭代:
(或 )
- 牛顿法求方程根
- 牛顿法求方程
- 牛顿迭代法求方程根
- 牛顿迭代法求方程根
- 牛顿迭代法求方程根
- 牛顿迭代法求方程的根
- 计算方法之牛顿迭代法求方程根
- 牛顿迭代法求方程的根
- 牛顿迭代法求方程的根
- 牛顿迭代法求方程的根
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