龙格-库塔法 wiki
来源:互联网 发布:郑州软件技术培训学校 编辑:程序博客网 时间:2024/06/01 10:50
龙格-库塔法
数值分析中,龙格-库塔法(Runge-Kutta)是用于模拟常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。这些技术由数学家卡尔·龙格和马丁·威尔海姆·库塔于1900年左右发明。
背景知识和其它方法请参看数值常微分方程条目。
目录
- 1经典四阶龙格库塔法
- 2显式龙格库塔法
- 2.1例子
- 3参考
经典四阶龙格库塔法
龙格库塔法的家族中的一个成员如此常用,以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格库塔法”。该方法主要是在已知方程导数和初值信息,利用计算机仿真时应用,省去求解微分方程的复杂过程。
令初值问题表述如下。
则,对于该问题的RK4由如下方程给出:
其中
这样,下一个值(yn+1)由现在的值(yn)加上时间间隔(h)和一个估算的斜率的乘积决定。该斜率是以下斜率的加权平均:
- k1是时间段开始时的斜率;
- k2是时间段中点的斜率,通过欧拉法采用斜率k1来决定y在点tn +h/2的值;
- k3也是中点的斜率,但是这次采用斜率k2决定y值;
- k4是时间段终点的斜率,其y值用k3决定。
当四个斜率取平均时,中点的斜率有更大的权值:
RK4法是四阶方法,也就是说每步的误差是h5阶,而总积累误差为h4阶。
注意上述公式对于标量或者向量函数(y可以是向量)都适用。
显式龙格库塔法
显式龙格-库塔法是上述RK4法的一个推广。它由下式给出
其中
(注意:上述方程在不同著述中有不同但却等价的定义)。
要给定一个特定的方法,必须提供整数s (级数),以及系数 aij (对于1 ≤ j < i ≤ s), bi (对于i = 1, 2, ...,s)和ci (对于i = 2, 3, ..., s)。这些数据通常排列在一个助记工具中,称为龙格库塔表:
0龙格库塔法是自治的,如果
如果要求方法有精度p则还有相应的条件,也就是要求舍入误差为O(hp+1)时的条件。这些可以从舍入误差本身的定义中导出。例如,一个2级2阶方法要求b1 +b2 = 1, b2c2 = 1/2, 以及b2a21 = 1/2。
例子
RK4法处于这个框架之内。其表为:
0 1/21/2 1/201/2 1001 1/61/31/31/6然而,最简单的龙格-库塔法是(更早发现的) 欧拉方法,如果给定公式。这是唯一自治的一级显式龙格库塔方法。相应的表为:
0 1参考
- George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, and Cleve B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977.(See Chapter 6.)
- Ernst Hairer, Syvert Paul Nørsett, and Gerhard Wanner. Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, second edition. Berlin: Springer Verlag, 1993.ISBN 3-540-56670-8.
- William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling.Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988.(See Sections 16.1 and 16.2.)
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