经典四阶龙格库塔法

龙格库塔法

分类： GSL-GNU scientific Library 2013-08-14 17:22178人阅读 评论(0)收藏 举报

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龙格库塔法

经典四阶龙格库塔法

龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法,经常被称为“RK4”或者就是“龙格库塔法”。

令初值问题表述如下。

对于该问题的RK4由如下方程给出：

其中：

RK4法是四阶方法，也就是说每步的误差是h⁵阶，而总积累误差为h⁴阶。

 

RK4计算程序如下：

//[e-mail]#include <iostream>using namespace std;#include <vector>#include <math.h>using namespace std;class RK  {public:    class DiffFunc    {    public:        double operator()(double x,double y)        {            // y'=cos(x)            return cos(x);            // y'=x*y-1            //    return x*y-1;        }    } m_df;        RK(double xend,double x0,double y0,double h=1e-3)    {        m_max_x = xend;        m_x0 = x0;        m_y0 = y0;        m_h = h;        m_half_h=h/2.0;    }        void Solve()    {        double yn=m_y0,xstart=m_x0;        while( xstart<m_max_x)        {            double y=yn+K(xstart,yn)*m_h;//y(n+1)=y(n)+h*y'            m_x.push_back(xstart);            m_y.push_back(yn);            cout<<xstart<<""<<yn<<endl;            yn=y;            xstart+=m_h;        }        }    //求解后的点    std::vector<double> m_x,m_y;    //步长h    double m_h;    //初始点x0,y0    double m_x0,m_y0;    //x范围    double m_max_x;    private:        double m_half_h;        double m_ptx,m_pty;        double  K1(double x,double y)        {            double v=m_df(x,y);            m_ptx=x;            m_pty=y;            return v;        }        double  K2(double _k1)        {            double v=m_df(m_ptx+m_half_h,m_pty+m_half_h*_k1);            return v;        }        double  K3(double _k2)        {                        double v=m_df(m_ptx+m_half_h,m_pty+m_half_h*_k2);            return v;        }        double  K4(double _k3)        {            double v=m_df(m_ptx+m_h,m_pty+m_h*_k3);            return v;        }        double  K(double x,double y)        {            double _k1=K1(x,y),_k2=K2(_k1),_k3=K3(_k2),_k4=K4(_k3);            return  (_k1+2.0*_k2+2.0*_k3+_k4)/6.0;        }        };main(){    RK s1(1,0,0);    s1.Solve();}

 

计算实例：

y'=cos(x)   y(0)=0,   ->   solution  y=sin(x)

 

y'=x*cos(x)   y(0)=0

 

y'=1.0/sqrt(x*x+y*y),y(0)=0.1