数论基本理论的整理

1. 大整数情况，衡量问题复杂度是输入的整数的位数，衡量效率是位操作的次数。

2. 除法定理：a=qn+r, 余数为r<n;

3. 取模可以划分等价类，[a]n表示模n后余数为a的数即 a+k*n; 

例如[3]7=[-4]7=[10]7中，k分别取 0,-1,1. 等价类的代表元是3,3+k*7即等价类的所有的元素

4. 用Zn表示所有的模n的等价类地集合即Zn={[a]n: 0<=a<=n-1}，即所有的a代表的那些等价类

5. a=qn,记录为  n|a，即 n是a的约数

6 模运算定义群：群（单位元，逆元，结合律的代数结构：操作加集合）

6.1 定义集合Zn上的群,注意Zn是集合的集合，即Zn中的元素是等价类

如果a~a'(mod n),b~b'(mod n)

则 a+b~a'+b' (mod n)  (a+k1*n)+(b+k2*n)=(a+b)+(k1+k2)*n=[a+b]n

     a*b~a'*b' (mod n)     (a+k1*n)(b+k2*n)=ab+(a*k2+b*k1+k)n=[ab]n,  注意，这里a，b要与n互质，否则ab+(a*k2+b*k1+k)n=k*n即变成了0的等价类

因此定义等价类的加法为其代表元的加法，等价类的乘法为其代表元的乘法[a]n+[b]n=[a+b]n, a[n]*b[n]=[ab]n

例如Z6集合中的元素为[0]6,[1]6,[2]6,..[5]6即每个元素都是一个等价类

[2]mod6 *  [5]mod6==[2*5]mod6=[4]mod6

6.2 Zn*的定义，  Zn集合中的元素时等价类，这些等价类中所有代表元与n互质的那些等价类的集合即Zn*

例如Z15*={ [1],[2],[4],[7],[8],[11],[13],[14]  }

6.3  Zn*集合上的乘法操作构成乘法群，求逆元用推广的欧几里得算法

ax+ny=1  移项得 ax=1-ny=1+kn  即 ax~1modn，

例如 [5]mod11, a=5,n=11,  extended_euclid(a,n)=(d,x,y)=(1,-2,1),于是 1=a(-2)+n*1=5*(-2)+11*1, 因此-2是模11乘法下5的逆元

6.4  ax~b modn

这种形式表示的含义是[a]n*[x]n=[b]n

 

7.  线性  模方程

7.0

同余的概念是这样描述的：

设m是一个给定的正整数，如果两个整数a，b用m除，所得的余数相同，则称a，b对模m同余。

所谓线性同余法（又叫混合同余法），就是这样的一个公式：X[i+1]=(A*X[i]+C) mod M；

7.1 用推广的欧几里得算法求交换群中乘法的逆元

http://blog.csdn.net/sinapme/article/details/17296799  该文章中详细注解了推广的欧几里得算法 extended-euclid求解 d=gcd(a,b)=ax+by返回 （d，x,y）三元式的结论。 其中gcd因子d的求解和一般的欧几里得算法一致。

利用该算法可以求Zn*中元素的乘法逆元，设a是Zn*中的元素，即 a代表等价类 [a]n， 求extended-eulicd(a,n)得到（d，x,y），因为Zn*中都为质数，所以gcd为1.即（1，x,y）即 ax+by=1即 ax+yn=1， 也即 ax~1modn，因此x是a的逆元。

7.2 线性模方程的定义：

求解 ax~b(mod n) 即 ax=b+kn这个方程，求出所有符合条件的x，这种方程称为 线性模方程

设<a>表示由 [a]mod n生成的Zn的子群（这种群称为循环群）。注意Zn是加法群，因此<a>=a^x=a+a+..+a一共加了x次=a*x， 也即ax是Zn上（注意Zn表示的是等价类【i】n的集合）的加法群因此ax~b这个线性模方程有解的条件是b 属于 <a>

7.3 线性模方程有解的条件：

定理：设d=gcd(a,n),则 <a>=<d>={0,d,2d,.....(n/d-1)d}即d的倍数，因此线性模仿成有节的条件是 gcd(a,n)|b即  d是b的因子，即b=p*d属于{0，d，2d，....(n/d-1)*d}，或者说这 n/d个都是 ax~b的解，如果 gcd（a,n）不是b的约数，则 ax~b无解。

即要么有d个解，要么无解。

7.4 线性模方程的初始解

上面论证了线性模方程有解的条件，n/d个解是相互联系的，因此求出一个解就可以获得所有解。

首先用extended-euclid方法求出d=gcd（a,n）=ax'+ny',  如果d|b即d是b的约数，

则初始解为x0=x‘(b/d)mod n （注意对于乘法群，可以通过extended-euclid来求解a元素的逆元， 即通过1=ax'+ny求出a的逆元x’）

这里d=ax'+ny'求出的是满足  ax'~d的 x‘，  而d|b，即d是b的约数，因此，  ax'~b的解为  x' (b/d) mod n，

 

注意 d|b，因此b/d是无需取模的

有了这个初始解，就可以构造出所有的解  xi=x0+i（n/d）

7.5 程序

modular-linear-equation-solver（a,b,n） //即 ax~bmodn 的解

（d,x',y'）=extended-euclid(a,n)

if (d|b)

{

x0=x'(b/d)modn

foreach(i)

{

xi=x0+i(n/d) mod n

}

}

else

{

print “无解”

}

7.6 实际例子

求解 14x~30 mod100， 即 ax~bmodn

extend-euclid（a，n）=extended-euclid（14,100）返回（d，x，y）=（2，-7,1）因此d|30，因此有解

x0=x’*b/d=（-7）*30/2mod100=-105mod100=95mod100

一共有d个解，另一个是 95+i*n/d=95+i*100/2=95+i*50=45;