KMP算法之我见(NEXT数组的递归解析)

通过根据next[j]求解next[j+1]的详细过程解析next数组的快速求法

一、已知条件：next[j] = k，匹配图如下：

设当前失配点为Pj，则下一次在该位置与主串比较的字符是Pk。且可知信息：

 

二、求next[j+1]。即若当前失配点为Pj+1，求下一次该移动到此位置与主串比较的字符序列。

通过next数组的含义可知，next[j+1]等于串P0P1…Pj-1Pj的最长相等缀子串对的长度。（注：笔者自定义缀子串对为等长度的前缀子串和后缀子串）

1、暂且用枚举的方法列出串P0P1…Pj-1Pj的所有缀子串对，则可对比求出最长的是哪一对缀子串对，且next[j+1] 等于其长度加1。过程如下：

前缀子串（第一个字符不变） 后缀子串（最后一个字符不变）

这些所有的子串对中哪一对是最长相等的呢？

式7可见红线框内的式子正好等于前文的2式，且已知2式不等，可推出式7不等。依次推至最后一个缀子串对式8，对应前文的式4，则式4不等可推出式8不等。

此时观察式6，可见红线框内的式子正好对应前文式1，且式1相等，则此时有：

若 Pk = Pj，则式6相等，且该缀子串对为最长相等子串对，则有：

Next[j+1] = k+1 = next[j] + 1          （Pk = Pj）

（此处可得出结论，next[j+1]最大值为next[j] + 1）

 

2、若Pk ！= Pj，则问题转变为上列缀子串对中式5及之前的所有缀子串对哪一对才是最长相等的。

此时可看成另一个匹配问题，主串、模式串都为前文匹配中模式串的子串。

匹配图如下：

此次新的匹配主串为Pj-kPj-k+1…Pj-1Pj，模式串为P0P1…Pk-1 Pk，且在Pk处失配。

那下一个该处于Pk位取代其与Pj相比的字符是什么呢？利用next[k]可得。

设 h = next[k]，则下一次匹配时Pj对应Ph。且根据next数组含义知：

P0P1…Ph-1   =   Pj-h…Pj-1     （该式即上表第三行信息，长度strlen=h）

若此时Ph = Pj，则P0P1…Ph-1Ph   =   Pj-h…Pj-1Pj ，则此时为Ph+1对应Pj+1。

则有：

next[j+1] = h+1=next[k]+1=next[next[j]]+1 （Pk ！= Pj且Ph = Pj）

3、若此时Ph ！= Pj，，则缀子串对P0P1…Ph-1 Ph 和Pj-h…Pj-1 Pj不相等。

此时该缀子串对作用地位等同于前文式6式，重复式6的的下一步工作，依次循环，直到解决最初问题：最长的相等缀子串对（前文第一次匹配问题）。此处循环体现了next数组中的递归思想。

 

以上过程实现代码如下：

　　next[0] = -1;k = next[0];i = 0;while(i<p_len-1)  //p_len为模式串p的长度strlen(p)。{  while( k>=0 && p[i] != p[k]){k = next[k];}i++;k++;next[i] = k;  }

 

上列代码中设置了一个next[0]的值，而执行循环体每一次的执行是利用已知的next[i]值和P[i]、P[k]求next[i+1]的值。

 

三、next数组的优化

引用前文（二、2）的表格加多一列：

设此时Pj=Pnext[k]，即Pj=Ph，故Pj+1应对应Ph+1，即next[j+1] = h+1；

此时若多做一步判断，Pj+1 ？Ph+1（判断是否相等）

   1、若Pj+1 ！=  Ph+1则next[j+1] = h+1  （与前文结论一致不变）

   2、若Pj+1 = Ph+1，则上表形成的新的匹配在主串为Pj+1处不失配，也即模式串在Ph+1处不失配，那无法求出next[j+1]，故要让模式串前进，在Ph+1处失配。也就是说虽然Pj+1 = Ph+1，但应该让模式串前进找到一个与Pj+1对应且会在该处失配的字符元素，此时此字符元素就是next[j+1]指向的位置元素。该过程简化了next数组。

² 注：此处千万别想成Pj+1 = Ph+1，那下一步匹配Pj+2 和 Ph+2，清楚当前阶段目的不是要匹配，而是求next[j+1]，故必须让Pj+1 为失配点。

 

上述优化实现代码如下：

{　　While( k>=0 && p[i] != p[k])　　       k = nextval[k];　　i++;　　k++;　　if( p[i] = p[k])  nextval[i] = nextval[k];　　else   nextval[i] = k;//此处代码源自《数据结构》，人民邮电出版社，宗大华等编。}

 

 

笔者对上段代码中最后的 if else 语句有些疑问，因为它只将前文（三、2）的情况执行了一遍，而不是循环。故认为可以改成下列语句

{　　While( k>=0 && p[i] != p[k])　　     k = nextval[k];   i++;   k++;   while( k>=0 && p[i] != p[k])  　　     k = nextval[k];   nextval[i] = k;}

 

上述代码只是假设，未作测试。算是留下一个小问题，留下遗憾暂时结束KMP算法的学习。