亲和数问题

看了July的《程序员编程艺术》的第六章亲和数问题，看了好长时间才搞清楚，智商拙计，记录下来，原文见：https://github.com/julycoding/The-Art-Of-Programming-by-July/blob/master/ebook/zh/06.0.md

这个问题原文中给出了两种解法，一种是伴随数组线性遍历的方法，另一种是近似与线性的利用素数筛选法，关于素数筛选法首先看看素数筛选法，主要参考了这篇文章http://blog.csdn.net/dinosoft/article/details/5829550

素数筛选法

一般的素数筛选法就是依次遍历数列，在遍历每遇到一个素数就将以这个素数为因子的数剔除，最后数列中所有的合数都被剔除了，所筛选出来的就是素数了，代码如下：

/** * 筛选法求整数n以内的素数，先假定n以内的数都是素数，然后从2开始逐个筛选，每遇到一个素数i，就将n以内i的倍数排除掉，最后筛选出来的就是素数 * @param n * @return */public static boolean[] primeSelector(int n) {boolean[] primes = new boolean[n+1];//布尔数组中的每个元素对应的数是否是素数primes[0] = false;primes[1] = false;//先假设都是素数for(int i = 2; i <= n; i++) {primes[i] = true;}//进行筛选for(int i = 2; i <= n; i++) {if(primes[i]) {int j = 2;while(j * i <= n) {//剔除素数i的倍数primes[i * j++] = false;}}}return primes;}

上面的方法存在重复剔除数据的问题，如合数30，在素数2，3，5的时都进行了依次剔除操作，所以可以针对这种情况进行优化，使用一个数组存储已经得到的素数，然后对于遍历的每个数都，将已经得到的素数乘以这个整数，对这个积值剔除，如遍历到整数4时，得到的素数数组为[2,3]，那么就剔除整数4*2即8这个数，然后再剔除整数4*3，为了不重复剔除数，还需要对这个过程进行一定的控制，在遍历到整数6时也同样会剔除整数12，所以使用i % primeNums.get(j) == 0这个条件来结束内层循环。如何证明？引用上面的文章[一般筛法求素数+快速线性筛法求素数]的证明过程：

首先，先明确一个条件，任何合数都能表示成一系列素数的积。 不管 i 是否是素数，都会执行到“关键处1”(下面的代码)，①如果 i 都是是素数的话，那简单，一个大的素数 i 乘以不大于 i 的素数，这样筛除的数跟之前的是不会重复的。筛出的数都是 N=p1*p2的形式, p1，p2之间不相等 ②如果 i 是合数，此时 i 可以表示成递增素数相乘 i=p1*p2*...*pn, pi都是素数（2<=i<=n），  pi<=pj  ( i<=j )p1是最小的系数。根据“关键处2”的定义，当p1==prime[j] 的时候，筛除就终止了，也就是说，只能筛出不大于p1的质数*i。 我们可以直观地举个例子。i=2*3*5此时能筛除 2*i ,不能筛除 3*i如果能筛除3*i 的话，当 i' 等于 i'=3*3*5 时，筛除2*i' 就和前面重复了。

/** * 求整数n以内的素数 * @param n * @return */public static boolean[] primeSelectorImp(int n) {boolean[] primes = new boolean[n+1];List<Integer> primeNums = new ArrayList<>();primes[0] = false;primes[1] = false;for(int i = 2; i <= n; i++) {primes[i] = true;}for(int i = 2; i <= n; i++ ) {if(primes[i]) {primeNums.add(i);}int j = 0;//关键处1while(i * primeNums.get(j) <= n && j < primeNums.size()) {primes[i * primeNums.get(j)] = false;if(i % primeNums.get(j) == 0) {//关键处2break;}j++;}}return primes;}

利用素数筛选法求亲和数

每个数都可以表示成素数的乘积，对于正整数N，可以用素数表示成N﹦P₁ ^a1·P₂^a2·P₃^a3……P_K^ak，其中P₁，P₂，P₃……P_n-1，P_n都是素数，那么：

N的约数的个数为：（a₁＋1）×（a₂＋1）×……×（a_k＋1）；

N的约数和为：（1＋P₁＋ P₁²＋…＋ P₁^a1）×（1＋P₂＋ P₂²＋…＋ P₂^a2）×……×（1＋P_K＋P_K²＋……＋P_K^ak） ；

而根据公式Pⁿ-1=(P-1)*(P^n-1 + P^n-2 + …… + 1)可得到N的约数和为：

利用这个公式可以进行递推，然后类似素数筛选法，可以求解亲和数问题。

代码如下：

import java.util.ArrayList;import java.util.List;public class AmicableNumber {public static void main(String[] args) {int[] counter = amicableNumber(5000000);//如果两个数a和b，a的所有真因数之和等于b,b的所有真因数之和等于a,则称a,b是一对亲和数，而amicableNumber函数计算的所有因子之和，所以应该减去这个数本身for(int i = 0; i < counter.length; i++) {int num = counter[i] - i;if(num < counter.length && num > i && counter[i] == counter[num]) {System.out.println(num + ":" + i);}}}/** * 求出每个数的因子之和 * @return */public static int[] amicableNumber(int n) {//存储每个数的因子之和int[] counter = new int[n+1];//保存计算过程中遇到的素数List<Integer> primeNums = new ArrayList<>();counter[0] = 0;counter[1] = 1;for(int i = 2; i <= n; i++ ) {//如果counter[i] == 0,则i为素数if(counter[i] == 0) {primeNums.add(i);counter[i] = i + 1;}int j = 0; while(i * primeNums.get(j) <= n && j < primeNums.size()) {//如果第j个素数s是i的因子，那么假设s的n次方乘以k等于i，即i=k*s^n，所以i*s=k*s^(n+1)，则根据公式有//counger[i*s]=counter[k]*(s^(n+2)-1)/(s-1)if(i % primeNums.get(j) == 0) {int k = i;int l = primeNums.get(j);l = l * l;while(k % primeNums.get(j) == 0) {l = l * primeNums.get(j);k = k / primeNums.get(j);}counter[i * primeNums.get(j)] = counter[k] * (l - 1) / (primeNums.get(j) - 1);break;} else {//如果第j个素数不是i的因子，如素数2不是整数45的因子，则counter[45*2]=counter[45]*(2^2-1)/(2-1)counter[i * primeNums.get(j)] = counter[i] * (primeNums.get(j) + 1);}j++;}}return counter;}}

伴随数组解法

伴随数组解法的原理就是在计算过程中维护一个数组sum，先将数组中所有元素的值都置1（1是所有整数的因子），然后从2开始遍历，遇到一个数a就将这个a的整数倍的数对应的sum数组中的元素加上a，如在遍历到2时就将可以被2整除的所有数（即所有大于2的偶数）所对应的sum元素加2。

实现代码如下：

public class AmicableNumberArr {public static final int MAX_NUM = 5000000;/** * @param args */public static void main(String[] args) {int sum[] = new int[MAX_NUM+10];amicable_pair(sum, MAX_NUM);}static void amicable_pair(int sum[], int n) {int i;int j;for (i = 1; i <= n; i++) {sum[i] = 1;}for (i = 2; i + i <= n; i++) {j = i + i;while (j <= n) {sum[j] += i;j += i;}}for (i = 1; i <= n; i++) {if (sum[i] > i && sum[i] <= n && sum[sum[i]] == i) {System.out.printf("%d:%d\n", sum[i], i);}}}}

--EOF

reference

一般筛法求素数+快速线性筛法求素数

程序员编程艺术第六章

http://bbs.csdn.net/topics/360246918