Catalan数公式推导

 

如何把下列递归公式

{ f(0)=f(1)=1 }

f(n)=f(0)*f(n-1-0)+f(1)*(n-1-1)+f(2)*f(n-1-2)+....+f(n-1-0)*f(0)

转化为

f(n)= C(2n,n)/(n+1)

可以利用母函数（发生函数）

令G(x)=f(0)+f(1)x+f(2)x^2+...

那么递归公式左边就是G(x)的n次项系数。右边是G(x)^2的n-1次项系数。

所以我们有(注意到零次项系数这个小问题，所以加1）

G(x)=x*G(x)^2+1

解出G(x)=(1-sqrt(1-4x))/2x

sqrt(1-4x)可以用广义的二项式定理展开，并且写成关于x的形式幂级数（就是无限项的多项式），

(1-sqrt(1-4x))的n+1次项系数就是我们要求的，恰好是C(2n,n)/(n+1)

由二项式定理

即sqrt(1-4x)中x^(n+l)项的系数为

的系数为正

P=a₁a₂a₃^...a_n为n个数a₁a₂a₃^...a_n的乘积,依据乘法的结合率,不改变其顺序,只用括号表示成对的乘积.试问有几种不同的乘法方案?

令P_n 表示n个数乘积的n-1对括号插入的不同方案数.

则P_n 为第n-1个Catalan数 = C(2n-2）,n-1)/n

以n=4为例

参考： 牛顿二项式定理的证明及其应用.pdf 

《数学分析》

《组合数学》