如何使基于梯度下降的机器学习并行化

本文，讨论batch-gradient和stochastic gradient descent的并行化。

首先来看batch-gradient。batch-gradient的每次更新都要在整个训练集上计算获得。比如，logistic regression的更新公式为：

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图片来自coursera上的《Machine Learning》截屏

因此若训练集很大（m很大），这种做法是十分耗时的。那何做到并行化呢？Andrew ng 在《Machine Learning》中便提到了机器学习的并行化：如果机器学习算法能表示成training set上函数的sum的形式（即上面公式），那么一个好的并行化选择是使用Map-reduce。一个Map-reduce job分两个阶段进行：map阶段和reduce阶段。因此可以将原本的sum公式(1)分解成几个小的sum公式，each由不同map task分别计算，最后由reduce task把map得到的结果进一步加和。

好，看来batch-gradient的并行化不是个很大的问题。但batch-gradient本身有缺陷：若机器学习算法（比如矩阵分解问题）面临的是一个非convex的算法，那么使用batch-gradient会使算法收敛很慢[2]，并且很可能陷入局部最优解（local optimum）。因此，实际中使用的是SGD（Stochastic Gradient Descent）——随机梯度下降。SGD的主要思想是：不同于以往利用整个training set更新一次参数，SGD随机从training set 中挑选出一个样本进行更新，直到算法收敛。 [1]指出KDD Cup 2011(track 1)的前三名都使用了SGD。SGD有算法converge 快，不容易陷入局部最优解的优点。

但是SGD内在本身是序列化的，因而不容易并行化。但不是不能，基本思想是：若为选定的一个评分r_ij，算法对应要更新的用户feature向量p_i和物品feature向量q_j,也就确定了。因此，评分矩阵中，所有即不同行又不同列的评分都可以同时更新。台湾国立大学的团队提出了一种快速的基于内存共享的并行SGD算——FPSGD。根据评测，它超出了现有被认为最好的shared-memory SGD并行算法CCD++。[13]指出，以往的SGD并行化算法面临两个问题：①缓存命中率低和②等待问题。首先，缓存命中率低是由算法内在的随机选取引起的。而等待问题是由数据的imbalance引起的。比如评分预测问题中，有的用户评分多，有的用户评分少，因此整个评分矩阵是imbalanced的。若使用DSGD（详见[1]），则所有节点要等待最慢的那个节点处理完（“最慢”可能是因为它被分配的block是最密集的）。

针对问题②，可以在执行DSGD之前random shuffle整个评分矩阵。但作者不满意这样方法，它指出不同线程的执行时间还会有差异。于是作者提出给空闲线程分配任务的方法：将整个矩阵分成（s+1）×（s+1）块，让s个线程同时执行。这样一个线程处理完一个block之后，必定有其他的block是free的（free是指不与其他线程处理的block共享用户或物品feature向量）。算法则为其分配更新次数最少的free block——为了使所有block的更新次数都差不多。论文显示，这样的方法使DoI在a few iteration之接近zero。（见论文）。

针对问题①，作者提出了partial random method：即更新块的选择是随机，而块内的更新是有序的。同时为了增加随机性，算法将评分矩阵分成了比（s+1）×（s+1）更多的块。

最后值得指出的是，作者将改算法实现并开源了，enjoy！

参考文献：

[1] A Fast Parallel SGD for Matrix Factorization in Shared Memory Systems

[2] Efficient Top-N Recommendation for Very Large Scale Binary Rated Datasets