拜占庭将军问题中的签名算法SM，以及有关证明。

在上一篇文章中已经写了一些关于有签名时候的算法的问题了。这里来具体阐释一下：

Lamport在文中提出，之所以会出现在口头传达中的那些错误是因为一些叛徒可以说谎，这里通过签名就是为了防止说谎。在签名算法中加了两个条件：

即A4（a）忠诚将军的签名是不能伪造的，内容修改可检测。（即 即使是叛徒也要原封不动的签了名将消息转发出去）

（b）任何人都可以识别将军的签名，叛徒可以伪造叛徒司令的签名。（后半句是论文中的后半部分规定的）。

而且这里Lamport规定，每条消息只可以复制，然后加上自己的姓名再发出去。 

下面是具体的算法：

对于这个算法要说的是：

初始化中的 Vi 类似于一个集合，表示的是第i个将军收到的命令，比如 Vi= {Attack} 之所以说是个集合是因为Vi里面不会有重复的命令出现。这在算法的（B) 部分描述的很清楚。

在算法的（1）中将军将签了自己姓名的消息广播发给所有副官。注意这里发的格式是 V:0    V是命令，0代表自己的身份。

（2  ）在此部分的（A）中，每个副官将收到的消息 V;0  中的命令V放入自己的命令集合Vi（因为初始的时候他们的命令集合都是空的，所以不存在重复问题） 然后：  他们将命令拷贝，然后加上自己的签名 ，得到消息： V:0:i   然后再发给其他的副官。

在（B）中因为 副官i 也会收到别的副官发来的消息v:0:1:...:jk. 此时i会判断v在不在自己的命令集合中，如果不存在的话将v加入Vi，并在k<m的情况下将信息签名，继续发出去。

在这里有几点是需要注意的。a) 如果将军是忠诚的话，那么因为忠诚将军的签名是不可以改的，所以 所有的命令都只是V，只是消息的签名不一样罢了，那么副官将不会将重复的命令再加入Vi，所以这就是lamport在论文中提到的如果将军是忠臣的话，那么每个副官只会保存a single order 。这里之所以提到这个是后面的证明需要用到。

b)为什么说当k<m的时候才会发送呢，这是因为每条信息只需要被复制m+1就可以了（这里将 将军署名的时候也算是一次签名，可以发现每签名1次就是一个复制），超过m就没必要了。之所以有这样的规定会面会有证明，即只需要复制m+1此所有的忠臣就可以达成一致。还有就是这里的下标k，并不是代表一个副官的id号，而是被签名的多少次，例如 v:0:j3; 这条消息，k是等于1（因为除了将军以外只被签名了一次）的而不是3.

（3）在这一个步骤里，当一个副官不会再收到任何的消息时就会执行choice函数。这里不再收到，lamport规定是超过一个时间不再收到就认为不再收到了。这里的choice函数,lamport没做具体的实现，只是认为，当Vi中只有一个命令时就得出这个命令。当Vi和Vj是相等的时候choice执行的结果是一样的，即他们可以达成一致，这个只会在将军是叛徒的时候才会出现，这样的话就满足了IC1条件。

当第三步结束，就可以得出一致命令了。

下面我们看看lamport是怎么证明只需要m+1次复制就可以了。

证明的总体思路是：

情形（一）如果将军是忠诚的话，就像我们在讨论算法的时候提到的，所有忠臣的副官只可能是收到a single order然后经过 choice函数得到的是将军的命令，所以满足IC2。

情形（二）这里假如将军是个叛徒。证明的总体思路是只需要证Vi，Vj是相同的集合就可以了。即只需要证明如果在step2中i将命令v放入Vi时，j也会将命令v放入Vj。

下面我们来证这个：

因为i要是想将v命令放入Vi，肯定会收到一个消息，V:0:j1:j2:...jk。那么下面就讨论：

（1）如果j属于j1~jk中的一个，那么他既然在消息上签了名，那么肯定也收到了消息v，所以在这种情况下是满足的。

（2）如果j不属于j1~jk中的一个的话，再讨论k的范围：

a.如果k<m, 那么i肯定会签上自己的姓名，将消息转发给所有的副官当然这里面肯定会有副官j（根据算法B中的ii），那么j要么在命令集vj中没有v的情况下将他保存，要么在已经有的情况下置之不理，但是无论是哪种情况，都会保证,Vj和Vi一致。

b. 如果k=m.此时i不会转发此消息。但是因为只有m个叛徒，又将军是叛徒，那么这m+1个复制里面就肯定有1个是忠臣，而忠臣会不修改消息直接将叛徒将军的消息v传给所有的副官，当然包括 j， 所以在此情况下也是可以保证的。

现在用个实例来证明：

当n=4,m=2必须要经过m+1轮复制才可以完成容错(或者说是交换)。

至此考虑完了所有情况，证毕。如果大家还有不理解的，可以回帖询问。