微分方程求解思考

关于微分方程的求解：

微分方程的解有多种分类：可以分为：齐次与非齐次，自由与强迫，零输入与零状态等，这几种分类是交叉的，比如：零输入零状态又分别可以分为齐次与非齐次。

下面简单阐述一下他们的关系：

齐次与非齐次是完全从数学的解微分方程方面考虑的，我们都知道微分方程的解是由令方程右边等于0的方程的解（我们称之为齐次解）加上由方程右边确定的解（我们称之为非齐次解）所确定的。我们可以这样理解：左边确定的齐次解+右边确定的非齐次解。其中齐次解的求法是把方程右边置零，求特征方程、特征根。然后写出解得形式，此时的解必须是有未知数的，有几个未知数我们就需要几个方程来求解，方程从何而来，从我们所知道的某一时刻的响应及响应的导数来（即y（t0） y‘（t0）……），t0为已知y（t0）…也已知，非齐次解也叫特解，特解需要猜（也可记表），确定特解形式后代入方程求出系数即可。

 

再说零输入与零状态，这样分是从物理的模型角度分的。我们应该知道：对于一个模型，响应由系统本身+初始状态+激励三部分构成，我们把方程看做系统本身，把方程的解看做响应，把输入放在右边。也就是说：零输入的响应由初始状态+系统决定，也就是初始状态的值的（注意是0—的）和方程，当然它的解也可以分为齐次与非其次，只不过与全响应不同的是：全响应的初始状态是0+，而它是0—。对于特解零输入响应是0，因为是0输入嘛，方程右边自然为0.零输入响应仅有齐次解。

同理我们可以推测判断：零状态响应是由系统本身（微分方程）+激励（输入）确定。同样也需要齐次解与非齐次解，只是它的齐次解系数由跳变量决定（即（0+）—（0—）），有木有跳变量，我们需要用到冲击函数匹配法（待会说），至于特解要根据表来待定系数，同上边讲到的求特解方法。

冲积函数匹配法：要先判断有没有跳变，跳变量是多少，详细课参考ppt

自由响应和强迫响应相对简单，自由响应是至于系统有关，也就是全响应中的由除常数外的式子，常数为强迫响应。