UVALive - 3305 Tour 双调欧几里得旅行商问题
来源:互联网 发布:python编译器哪个好 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 17:31
题意:真心想不出好的动态转移方程,看了题解原来是双调欧几里得旅行问题
思路【转】:
欧几里得旅行商问题是对平面上给定的n个点确定一条连接各点的最短闭合旅程的问题。如图(a)给出了一个7个点问题的解。这个问题的一般形式是NP完全的,故其解需要多于多项式的时间。J.L. Bentley 建议通过只考虑双调旅程(bitonic tour)来简化问题,这种旅程即为从最左点开始,严格地从左到右直至最右点,然后严格地从右到左直至出发点。下图(b)显示了同样的7个点的最短双调路线。在这种情况下,多项式的算法是可能的。事实上,存在确定的最优双调路线的O(n*n)时间的算法。
图a 图b
注:在一个单位栅格上显示的平面上的七个点。 a)最短闭合路线,长度大约是24.89。这个路线不是双调的。b)相同点的集合上的最短双调闭合路线。长度大约是25.58。
这是一个算导上的思考题15-1。
首先将给出的点排序,关键字x,重新编号,从左至右1,2,3,…,n。
定义p[i][j],表示结点i到结点j之间的距离。
定义d[i][j],表示从i连到1,再从1连到j,(注意,i>j,且并没有相连。)
对于任意一个点i来说,有两种连接方法,一种是如图(a)所示,i与i-1相连,另一种呢是如图(b),i与i-1不相连。
根据双调旅程,我们知道结点n一定与n相连,那么,如果我们求的d[n][n-1],只需将其加上p[n-1][n]就是最短双调闭合路线。
根据上图,很容易写出方程式:
dp[i][j]=dp[i-1][j]+dist[i][i-1];
dp[i][i-1]=min(dp[i][i-1],dp[i-1][j]+dist[j][i]);
#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <cmath>#include <algorithm>using namespace std;const int MAXN = 101;struct point{ int x,y;}p[MAXN];int n;double dp[MAXN][MAXN],a[MAXN][MAXN];double dis(point p1,point p2){ return sqrt((double)(p1.x-p2.x)*(p1.x-p2.x)+(double)(p1.y-p2.y)*(p1.y-p2.y));}int main(){ while (scanf("%d",&n) != EOF){ for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y); if (n == 1){ printf("0.00\n"); continue; } for (int i = 0; i < n; i++){ a[i][i] = 0; for (int j = i+1; j < n; j++) a[i][j] = a[j][i] = dis(p[i],p[j]); } dp[0][0] = 0; for (int i = 1; i < n; i++) dp[i][0] = a[i][0]; for (int i = 1; i < n-1; i++){ dp[i+1][i] = 0x3f3f3f3f; for (int j = 0; j <= i-1; j++){ dp[i+1][j] = dp[i][j] + a[i][i+1]; dp[i+1][i] = min(dp[i+1][i],dp[i][j]+a[j][i+1]); } } printf("%.2lf\n",dp[n-1][n-2]+a[n-1][n-2]); } return 0;}
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