hdu 2050 折线分割平面
来源:互联网 发布:windows安装程序 编辑:程序博客网 时间:2024/06/06 05:24
归纳:
(1) n条直线最多分平面问题
题目大致如:n条直线,最多可以把平面分为多少个区域。
析:可能你以前就见过这题目,这充其量是一道初中的思考题。但一个类型的题目还是从简单的入手,才容易发现规律。当有n-1条直线时,平面最多被分成了f(n-1)个区域。则第n条直线要是切成的区域数最多,就必须与每条直线相交且不能有同一交点。这样就会得到n-1个交点。这些交点将第n条直线分为2条射线和n-2条线断。而每条射线和线断将以有的区域一分为二。这样就多出了2+(n-2)个区域。
故:f(n)=f(n-1)+n
=f(n-2)+(n-1)+n
……
=f(1)+1+2+……+n
=n(n+1)/2+1
(2) 折线分平面(hdu2050)
根据直线分平面可知,由交点决定了射线和线段的条数,进而决定了新增的区域数。当n-1条折线时,区域数为f(n-1)。为了使增加的区域最多,则折线的两边的线段要和n-1条折线的边,即2*(n-1)条线段相交。那么新增的线段数为4*(n-1),射线数为2。但要注意的是,折线本身相邻的两线段只能增加一个区域。
故:f(n)=f(n-1)+4(n-1)+2-1
=f(n-1)+4(n-1)+1
=f(n-2)+4(n-2)+4(n-1)+2
……
=f(1)+4+4*2+……+4(n-1)+(n-1)
=2n^2-n+1
(3) 封闭曲线分平面问题
题目大致如设有n条封闭曲线画在平面上,而任何两条封闭曲线恰好相交于两点,且任何三条封闭曲线不相交于同一点,问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。
析:当n-1个圆时,区域数为f(n-1).那么第n个圆就必须与前n-1个圆相交,则第n个圆被分为2(n-1)段线段,增加了2(n-1)个区域。
故: f(n)=f(n-1)+2(n-1)
=f(1)+2+4+……+2(n-1)
=n^2-n+2
(4)平面分割空间问题(hdu1290)
由二维的分割问题可知,平面分割与线之间的交点有关,即交点决定射线和线段的条数,从而决定新增的区域数。试想在三维中则是否与平面的交线有关呢?当有n-1个平面时,分割的空间数为f(n-1)。要有最多的空间数,则第n个平面需与前n-1个平面相交,且不能有共同的交线。即最多有n-1 条交线。而这n-1条交线把第n个平面最多分割成g(n-1)个区域。(g(n)为(1)中的直线分平面的个数)此平面将原有的空间一分为二,则最多增加g(n-1)个空间。
故:f=f(n-1)+g(n-1) ps:g(n)=n(n+1)/2+1
=f(n-2)+g(n-2)+g(n-1)
……
=f(1)+g(1)+g(2)+……+g(n-1)
=2+(1*2+2*3+3*4+……+(n-1)n)/2+(n-1)
=(1+2^2+3^2+4^2+……+n^2-1-2-3-……-n )/2+n+1
=(n^3+5n)/6+1
直线:
条数
最多交点数
平面数
1
0
2
2
1
f(1)+2
3
2
f(2)+3
4
3
f(3)+4
n
n-1(该条数的直线前面的直线总条数)
f(n-1)+增加的平面数=f(n-1)++(交点数+1)=f(n-1)+((n-1)+1)
平行线:
对数
条数
最多交点数
平面数
1
2
0
3
2
4
4=2*2
f(1)+6=f(1)+3*2
3
6
8=4*2
f(2)+10=f(2)+5*2
4
8
12=6*2
f(3)+14=f(3)+7*2
n
2*n
单条直线交点数*2=该对平行线前的直线总条数*2=(2*(n-1))*2
f(n-1)+单条直线增加的平面数*2=f(n-1)+(交点数+1)*2=f(n-1)+(2*(n-1)+1)*2
折线:
折线数
所含直线数
最多交点数
平面数
1
2
0
2
2
4
4=2*2
f(1)+5=f(1)+(2*3-1)
3
6
8=4*2
f(2)+9=f(2)+(2*5-1)
4
8
12=6*2
f(3)+13=f(3)+(2*7-1)
n
2*n
单条直线交点数*2=该对平行线前的直线总条数*2=(2*(n-1))*2
f(n-1)+(单条直线增加的平面数*2-1)=f(n-1)+((交点数+1)*2-1)=f(n-1)+((2*(n-1)+1)*2-1)
三角形
个数
交点数
增加的平面个数
分割平面总数
1
0
1
2
2
2*3
3*3-3
f(1)+3*3-3
3
4*3
5*3-3
f(2)+5*3-3
4
6*3
7*3-3
f(3)+7*3-3
n
(n*2-2)*3
(2*n-1)*3-3
f(n-1)+(2*n-1)*3-3=f(n-1)+6*(n-1)
#include<stdio.h>int main(){ int n,m,s; scanf("%d",&n); while(n--) { scanf("%d",&m); s=2*m*m-m+1; printf("%d\n",s); } return 0;}
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