一个木桶中装着M个白色的小球，求…

一个木桶中装着M个白色的小球；

小明每分钟从桶中随机的取出一个球，将其涂上红色并将球放回桶中；

请问小明将所有球均涂上红色的期望时间是几分钟。

（注：取出的球无论是什么颜色，小明都会再次给它涂上红色） 

刚开始看这个题目，不知从何处入手。

如果直接按照期望的定义去计算的话，会很复杂很复杂，最后想到了一步一步来的计算方法。

定义M个随机变量：

X1:从袋子里没有红球，到袋子里有一个红球所需要的时间

X2:从袋子里有1个红球，到袋子里有2个红球所需要的时间 …

XM:从袋子里有M-1个红球，到袋子里有M个红球所需要的时间 

可以很容易看到，以上每个随机变量都服从几何分布，其参数p分别为1,(M-1)/M,(M-2)/M,…,1/M.

记我们所需要求的，从袋子里没有红球，到全部是红球，所需要的时间，为X，

于是显然有： X=X1+X2+X3+X4+…+XM

根据期望的性质，有

E(X)=E(X1+X2+…+XM)=E(X1)+E(X2)+…+E(XM)

参数为p的几何分布的期望是1/p，因此有：

E(X)=1+M/(M-1)+M/(M-2)+…+M/1 这个就是最后结果了。

期望的加法性质是很有用处的，有些时候用好了这个性质，就可以大大简化计算过程。