三角函数

这几天想搞明白“正交”的概念，其中涉及到cos90度的值为0。以前只知道cos90一定为0，却不知道它为什么为0。现在决定对这个问题一探究竟！

下面的内容摘自百度百科：

       三角函数是数学中常见的一类关于角度的函数。三角函数将直角三角形的内角和它的两个边的比值相关联，也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。它本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。

定义

       如下图，当平面上的三点A、B、C的连线AB、AC、BC，构成一个直角三角形，其中∠ACB为直角。

       对于AB与AC的夹角∠BAC而言：

• 对边（opposite）      a=BC
• 斜边（hypotenuse）    h=AB
• 邻边（adjacent）      b=AC

    将常用三角函数总结如下表：

基本函数

英文

缩写

表达式

语言描述

正弦函数

Sine

sin

a/h

∠A的对边比斜边

余弦函数

cosine

cos

b/h

∠A的邻边比斜边

正切函数

Tangent

tan

a/b

∠A的对边比邻边

余切函数

Cotangent

cot

b/a

∠A的邻边比对边

正割函数

Secant

sec

h/b

∠A的斜边比邻边

余割函数

Cosecant

csc

h/a

∠A的斜边比对边

       初中学习的“锐角三角函数”是在直角三角形中定义的，所以在初中阶段求锐角的三角函数值，都是通过构造直角三角形来完成的，即把这个角放到某个直角三角形中。到了高中三角函数值的求法是通过坐标定义法来完成的，这个时候角也扩充到了任意角。

       任意角三角函数定义，如下图：

       在平面直角坐标系中，设O-x为任意角α的始边，在角α终边上任取一点P(x, y)，令OP=r，则：      

       sinα=y/r

       cosα=x/r      

       tanα=y/x
       cotα=x/y
       secα=r/x

       cscα=r/y

定义（单位圆）

       六个三角函数也可以依据半径为1，中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和 π/2弧度之间的角。它也提供了图像（如下图），把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，单位圆的方程是：对于圆上的任意点(x, y)，x^2 + y^2 = 1。

       图中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一条过原点的线，同x轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。这个交点的x和y坐标分别等于cosθ和sinθ。图中的三角形确保了这个公式；因为半径即斜边且长度为1，所以有sinθ=y/1 和 cosθ=x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于1的一种查看无限个三角形的方式。对于大于 2π 或小于等于2π 的角度，可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为 2π的周期函数。