全排列及其逆序数

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全排列及其逆序数

一、全排列

个不同元素排成一列。

可将 个不同元素按1~ 进行编号，则个不同元素的全排列可看成这个自然数的全排列。

个不同元素的全排列共有种。

逆序的定义：取一个排列为标准排列，其它排列中某两个元素的次序与标准排列中这两个元素的次序相反时，则称这两个元素构成一个逆序。

通常取从小到大的排列为标准排列，即 1~ 的全排列中取123 为标准排列。

二、逆序及逆序数

逆序数的定义：一个排列的逆序数的总数称为逆序数。

逆序数为偶数称为偶排列，逆序数为奇数称为奇排列，标准排列规定为偶排列。

例：讨论 1 ， 2 ， 3 的全排列。

全排列

123

231

312

132

213

321

逆序数

0

2

2

1

1

3

奇偶性

偶

奇

逆序数的计算：设 为的一个全排列，则其逆序数为

其中 为排在前，且比大的数的个数。

例：求 的逆序数。

解： ，