ACM（034）韩信点兵(1)

韩信点兵

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难度：1

描述

相传韩信才智过人，从不直接清点自己军队的人数，只要让士兵先后以三人一排、五人一排、七人一排地变换队形，而他每次只掠一眼队伍的排尾就知道总人数了。输入3个非负整数a,b,c ，表示每种队形排尾的人数（a<3,b<5,c<7），输出总人数的最小值（或报告无解）。已知总人数不小于10，不超过100 。

输入

输入3个非负整数a,b,c ，表示每种队形排尾的人数（a<3,b<5,c<7）。例如,输入：2 4 5

输出

输出总人数的最小值（或报告无解，即输出No answer）。实例，输出：89

样例输入

2 1 6

样例输出

41

来源

经典算法

上传者

首席执行官

 

（1）简单方法

#include <iostream>using namespace std;int main(){int count;int a,b,c;cin>>a>>b>>c; for(count=10;count<100;count++)if(count%3==a&&count%5==b&&count%7==c){cout<<count;cout<<endl;return 0;}cout<<endl<<"No answer !"<<endl;return 0;}

（2）使用中国剩余定理

#include <iostream>using namespace std;int main(){int count;int a,b,c;cin>>a>>b>>c; count=(a*70+b*21+c*15)%105;if(n>100||n<10) cout<<"No answer"<<endl;else cout<<n<<endl;}

附录：中国剩余定理定义与解释（百度百科）

 

1定义

中国剩余定理的结论：

令任意固定整数为M，当M/A余a，M/B余b，M/C余c，M/D余d，…，M/Z余z时，这里的A，B，C，D，…，Z为除数，除数为任意自然数（[span]如果为0，没有任何意义，如果为1，在孙子定理中没有计算和探讨的价值，所以，不包括0和1）时；余数a，b，c，d，z为自然整数时。

1、当命题正确时，在这些除数的最小公倍数内有解，有唯一的解，每一个最小公倍数内都有唯一的解；当命题错误时，在整个自然数范围内都无解。

2、当M在两个或两个以上的除数的最小公倍数内时，这两个或两个以上的除数和余数可以定位M在最小公倍数内的具体位置，也就是M的大小。

3、正确的命题，指没有矛盾的命题：分别除以A，B，C，D，…，Z不同的余数组合个数=A，B，C，D，…，Z的最小公倍数=不同的余数组合的循环周期．

 

2解释

注释：三数为a b c，余数分别为 m1 m2 m3，%为求余计算，&&是“且”运算

⒈分别找出能被两个数整除，而满足被第三个整除余一的最小的数。

k1%b==k1%c==0 && k1%a==1;

k2%a==k2%c==0 && k2%b==1;

k3%a==k3%b==0 && k3%c==1;

⒉将三个数（能被两个数整除、除以第三个数余1）乘对应数字的余数再加起来，减去这三个数的最小公倍数即得结果。

Answer = k1×m1 + k2×m2 + k3×m3 - P×（a×b×c);

P为满足Answer > 0的最大整数；

或者 Answer = (k1×m1 + k2×m2 + k3×m3）%(a×b×c) ;

解题思路：

令某数为M，令素数为A，B，C，D，…，Z，已知M/A余a，M/B余b，M/C余c，M/D余d，…，M/Z余z。求M=？

因为A，B，C，D，…，Z为不同的素数，故，B*C*D*…*Z不可能被A整除，有等差数列（B*C*D*…*Z）+（B*C*D*…*Z）N中取A个连续项，这A个连续项分别除以A的余数必然存在0，1，2，3，…，A-1，所以，从这A个连续项中能寻找到除以A余1的数。再用除以A余1的这个数*a其积必然除以A余a，这个除以A余a的数，为能够被素数B*C*D*…*Z整除的数，为第一个数；

再按同样的道理，从A*C*D*…*Z的倍数中寻找除以B余b的数，该数具备被素数A，C，D，…，Z整除的特性，为第二个数；

因为，第一个数除以A余a，第二个数能被素数A，C，D，…，Z整除，即能被A整除，所以，第一个数+第二个数之和，仍然保持除以A余a；

同理，第二个数除以B余b，因第一个数能被B整除，所以，第二个数+第一个数之和，仍然保持除以B余b。即，第一个数+第二个数之和，为满足除以A余a，除以B余b。

依此类推，按上面的方法寻找到除以各素因子的余数的数之总和，为满足除以各素因子余数的条件的数。总和再减去能被这几个素数共同整除的数（A*B*C*D*…*Z）N后，其差仍然保持除以各素因子余数的条件的数。由此构成孙子定理的解法。