韩信点兵(剩余定理)
来源:互联网 发布:淘宝德国铁元是真的吗 编辑:程序博客网 时间:2024/05/24 23:12
题目: <算法竞赛入门经典> 31页
思路: 开始的思路是暴力..一个for完事...去网上对对答案...发现了正确的算法...
中国剩余定理:
CODE :
#include<stdio.h>#include<iostream>#include<string.h>#include<algorithm>using namespace std;int main(){ int a,b,c; scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); int ans=(70*a+21*b+15*c)%105; if(ans<10||ans>100) { printf("No answer\n"); } else printf("%d\n",ans); return 0;}
附: 中国剩余定理分析!!
我们将“孙子问题”(和韩信点兵是一样的)拆分成几个简单的小问题,从零开始,试图揣测古人是如何推导出这个解法的。
首先,我们假设n1是满足除以3余2的一个数,比如2,5,8等等,也就是满足3*k+2(k>=0)的一个任意数。同样,我们假设n2是满足除以5余3的一个数,n3是满足除以7余2的一个数。
有了前面的假设,我们先从n1这个角度出发,已知n1满足除以3余2,能不能使得 n1+n2 的和仍然满足除以3余2?进而使得n1+n2+n3的和仍然满足除以3余2?
这就牵涉到一个最基本数学定理,如果有a%b=c,则有(a+kb)%b=c(k为非零整数),换句话说,如果一个除法运算的余数为c,那么被除数与k倍的除数相加(或相减)的和(差)再与除数相除,余数不变。这个是很好证明的。
以此定理为依据,如果n2是3的倍数,n1+n2就依然满足除以3余2。同理,如果n3也是3的倍数,那么n1+n2+n3的和就满足除以3余2。这是从n1的角度考虑的,再从n2,n3的角度出发,我们可推导出以下三点:
- 为使n1+n2+n3的和满足除以3余2,n2和n3必须是3的倍数。
- 为使n1+n2+n3的和满足除以5余3,n1和n3必须是5的倍数。
- 为使n1+n2+n3的和满足除以7余2,n1和n2必须是7的倍数。
因此,为使n1+n2+n3的和作为“孙子问题”的一个最终解,需满足:
- n1除以3余2,且是5和7的公倍数。
- n2除以5余3,且是3和7的公倍数。
- n3除以7余2,且是3和5的公倍数。
所以,孙子问题解法的本质是从5和7的公倍数中找一个除以3余2的数n1,从3和7的公倍数中找一个除以5余3的数n2,从3和5的公倍数中找一个除以7余2的数n3,再将三个数相加得到解。在求n1,n2,n3时又用了一个小技巧,以n1为例,并非从5和7的公倍数中直接找一个除以3余2的数,而是先找一个除以3余1的数,再乘以2。
这里又有一个数学公式,如果a%b=c,那么(a*k)%b=a%b+a%b+…+a%b=c+c+…+c=kc(k>0),也就是说,如果一个除法的余数为c,那么被除数的k倍与除数相除的余数为kc。展开式中已证明。
最后,我们还要清楚一点,n1+n2+n3只是问题的一个解,并不是最小的解。如何得到最小解?我们只需要从中最大限度的减掉掉3,5,7的公倍数105即可。道理就是前面讲过的定理“如果a%b=c,则有(a-kb)%b=c”。所以(n1+n2+n3)%105就是最终的最小解。
总结
经过分析发现,中国剩余定理的孙子解法并没有什么高深的技巧,就是以下两个基本数学定理的灵活运用:
- 如果 a%b=c , 则有 (a+kb)%b=c (k为非零整数)。
- 如果 a%b=c,那么 (a*k)%b=kc (k为大于零的整数)。
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