HDU 1018(斯特林数)

题意：求n的阶乘的位数。

 

斯特林数

log10(n!)=1.0/2*log10(2*pi*n)+n*log10(n/e)

#include "stdio.h"#include "math.h"#define e 2.71828182int main(){int T;int n;double t;scanf("%d",&T);while(T--){scanf("%d",&n);t=(double)n*log10(n*1.0/e)+0.5*log10(2.0*n*3.1415926);printf("%d\n",(int)t+1);}return 0;}

 

这题要求n的阶乘的位数，如果n较大时，n的阶乘必将是一个
很大的数，题中说1<=n<10000000，当n=10000000时可以说n
的阶乘将是一个非常巨大的数字，对于处理大数的问题，我
们一般用字符串，这题当n取最大值时，就是一千万个数字相
乘的积，太大了，就算保存在字符串中都有一点困难，而且
一千万个数字相乘是会涉及到大数的乘法，大数的乘法是比较
耗时的，就算计算出结果一般也会超时。这让我们不得不抛弃
这种直接的方法。

再想一下，这题是要求n的阶乘的位数，而n的阶乘是n个数的
乘积，那么要是我们能把这个问题分解就好了。

在这之前，我们必须要知道一个知识，任意一个正整数a的位数
等于(int)log10(a) + 1；为什么呢？下面给大家推导一下：

  对于任意一个给定的正整数a，
  假设10^(x-1)<=a<10^x，那么显然a的位数为x位，
  又因为
  log10(10^(x-1))<=log10(a)<(log10(10^x))
  即x-1<=log10(a)<x
  则(int)log10(a)=x-1,
  即(int)log10(a)+1=x
  即a的位数是(int)log10(a)+1

我们知道了一个正整数a的位数等于(int)log10(a) + 1，
现在来求n的阶乘的位数：
假设A=n!=1*2*3*......*n，那么我们要求的就是
(int)log10(A)+1，而：
 log10(A)
        =log10(1*2*3*......n)  （根据log10(a*b) = log10(a) + log10(b)有）
         =log10(1)+log10(2)+log10(3)+......+log10(n)
现在我们终于找到方法，问题解决了，我们将求n的阶乘的位
数分解成了求n个数对10取对数的和，并且对于其中任意一个数，
都在正常的数字范围之类。

总结一下：n的阶乘的位数等于
    (int)(log10(1)+log10(2)+log10(3)+......+log10(n)) + 1

根据这个思路我们很容易写出程序

 

#include<iostream>#include<cmath>using namespace std;int main(){    int i,t,n;    double sum;    cin>>t;    while(t--)        {          sum=1;          cin>>n;          for(i=1;i<=n;i++)            sum+=log10(i);          printf("%d\n",(int)sum);            }        return 0;}