微积分和数学分析引论(一)——函数
来源:互联网 发布:c 二维数组赋值不全 编辑:程序博客网 时间:2024/05/16 18:00
一致连续性(意义):在f(x)的连续区间的任何部分,只要自变量的两个数值接近到一定程度(δ),就可使对应的函数值达到所指定的接近程度(ε),且这个接近程度(ε)不随自变量x的改变而改变。
其实在该书的第一卷P44页中,说的是对于某区间(可以说是开区间、闭区间甚至无穷区间),我们能找到统一的(即不依赖于区间中的自变量)连续模δ=δ(ε),则称f在此区间上是一致连续的.它比单纯的局部连续性更接近于直观的概念。比如f(x)=5x+3,对于自变量一切值来说是一致连续的,而对于f(x)=x2在x的无限区间上显然不是一致连续的,而在固定的有限闭区间它是满足一致连续性的。
所以我们得出一个结论:任何函数在一个有界闭区间上是连续的,自然在此区间上是一致连续的。
利普希茨(Lipschitz)连续性——赫尔德(Holder)连续性:
利普希茨条件:|f(x2) - f(x1)| ≤ L|x2 - x1|,它对于一致性来说只是充分条件,而不是必要条件。在有些函数中不可能选取与ε成正比的δ(ε),但是对于某些函数中存在另外的非线性的连续模。因此得出赫尔德条件:
|f(x2) - f(x1)| ≤ L|x2 - x1|α
其中L和α 是固定的常数,而这个“赫尔德指数α”的取值限于0<α<1。显然δ=L-1/α ε1/α是赫尔德连续函数f可能有的连续模。
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