普林斯顿微积分读本——第一章 函数、图像和直线(读书笔记)
来源:互联网 发布:mac vmware 安装win10 编辑:程序博客网 时间:2024/05/16 07:32
- 函数
- 区间表示法
- 求定义域
- 垂线检验用于检验一个图像是否是函数的图像
- 反函数
- 水平线检验检验函数是否有反函数
- 求反函数
- 反函数的反函数
- 函数的复合
- 奇函数和偶函数
- 线性函数的图像
- 常见函数及其图像
- 多项式
- 有理函数
- 指数函数和对数函数
- 绝对值函数
- 函数
函数
函数是将一个对象转化为另一个对象的规则。起始对象称为输入,来自成为定义域的集合。返回对象称为输出,来自称为上域的集合。
一个函数必须给每一个有效的输入制定唯一的输出。
值域是所有可能的输出所组成的集合。
值域实际上是上域的一个子集。上域是可能输出的集合,而值域是实际输出的集合。
区间表示法
[a,b]是指从a到b端点间的所有实数,包括a和b,即a<=x<=b.像这种形式表示的区间叫闭区间
(a,b)指介于a和b之间但不包括a和b的所有实数的集合,即a
求定义域
三种常见的情况:
1. 分数的分母不能是零
2. 不能取一个负数的平方根(或四次根,六次根,等等)
3. 不能取一个负数或零的对数
(8,13]{2},表示大于8并小于等于13并且不等于2的所有实数,反斜杠()表示“不包括”。
垂线检验——用于检验一个图像是否是函数的图像
如果你有某个图像并想知道它是否是函数的图像,你就看看是否任何的垂线和图像相交多余一次。如果多于一次,就说明它不是函数的图像;反之,它就是函数的图像。
反函数
给定一个函数
使用数学语言对上述情形的总结:
1. 从一个函数
2.
3.
4.
变换
水平线检验——检验函数是否有反函数
如果每一条水平线和一个函数的图像相交至多一次,那么这个函数就有一个反函数。如果多于一次,这个函数就没有反函数。
求反函数
实际上,求解反函数经常是不可能的。
函数与他的反函数的图像是与
反函数的反函数
如果
- 对于
f 值域中的所有y ,都有f(f−1(y))=y ;但是 f−1(f(x)) 可能不等于x ;事实上,f−1(f(x))=x 仅当x 在限制的定义域中才成立。
函数的复合
对于函数
将函数
奇函数和偶函数
如果对于
如果对于
一个函数可能是奇函数,也可能是偶函数,也可能非奇非偶。
偶函数的图像关于
奇函数的图像关于原点有180° 的点对称性。
两奇函数之积为偶函数,两偶函数之积仍为偶函数,奇函数和偶函数之积为奇函数。
线性函数的图像
形如
点斜式:如果已知直线通过点
求斜率公式:如果一条直线通过点
常见函数及其图像
多项式
形如:
多项式的图像左右两端的走势倒是容易判断,这是由最高次数的项的系数决定的,该系数叫做首项系数。
次数为2的多项式,叫二次函数,通常写为
通常我们用希腊字母
注意该表达式根号下为判别式。
有理函数
形如
指数函数和对数函数
当
绝对值函数
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