无向图最小割算法。
来源:互联网 发布:淘宝模特招聘 编辑:程序博客网 时间:2024/05/17 22:19
一个无向连通网络,去掉一个边集可以使其变成两个连通分量则这个边集就是割集;最小割集当然就权和最小的割集。
可以用最小切割最大流定理:
1.min=MAXINT,确定一个源点
2.枚举汇点
3.计算最大流,并确定当前源汇的最小割集,若比min小更新min
4.转到2直到枚举完毕
5.min即为所求输出min
不难看出复杂度很高:枚举汇点要O(n),最短增广路最大流算法求最大流是O((n^2)m)复杂度,在复杂网络中O(m)=O(n^2),算法总复杂度 就是O(n^5);哪怕采用最高标号预进流算法求最大流O((n^2)(m^0.5)),算法总复杂度也要O(n^4)
所以用网络流算法求解最小割集复杂度不会低于O(n^4)。
---------
prim算法不仅仅可以求最小生成树,也可以求“最大生成树”。最小割集Stoer-Wagner算法就是典型的应用实例。
求解最小割集普遍采用Stoer-Wagner算法,不提供此算法证明和代码,只提供算法思路:
1.min=MAXINT,固定一个顶点P
2.从点P用类似prim的s算法扩展出“最大生成树”,记录最后扩展的顶点和最后扩展的边
3.计算最后扩展到的顶点的切割值(即与此顶点相连的所有边权和),若比min小更新min
4.合并最后扩展的那条边的两个端点为一个顶点(当然他们的边也要合并,这个好理解吧?)
5.转到2,合并N-1次后结束
6.min即为所求,输出min
prim本身复杂度是O(n^2),合并n-1次,算法复杂度即为O(n^3)
可以用最小切割最大流定理:
1.min=MAXINT,确定一个源点
2.枚举汇点
3.计算最大流,并确定当前源汇的最小割集,若比min小更新min
4.转到2直到枚举完毕
5.min即为所求输出min
不难看出复杂度很高:枚举汇点要O(n),最短增广路最大流算法求最大流是O((n^2)m)复杂度,在复杂网络中O(m)=O(n^2),算法总复杂度 就是O(n^5);哪怕采用最高标号预进流算法求最大流O((n^2)(m^0.5)),算法总复杂度也要O(n^4)
所以用网络流算法求解最小割集复杂度不会低于O(n^4)。
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prim算法不仅仅可以求最小生成树,也可以求“最大生成树”。最小割集Stoer-Wagner算法就是典型的应用实例。
求解最小割集普遍采用Stoer-Wagner算法,不提供此算法证明和代码,只提供算法思路:
1.min=MAXINT,固定一个顶点P
2.从点P用类似prim的s算法扩展出“最大生成树”,记录最后扩展的顶点和最后扩展的边
3.计算最后扩展到的顶点的切割值(即与此顶点相连的所有边权和),若比min小更新min
4.合并最后扩展的那条边的两个端点为一个顶点(当然他们的边也要合并,这个好理解吧?)
5.转到2,合并N-1次后结束
6.min即为所求,输出min
prim本身复杂度是O(n^2),合并n-1次,算法复杂度即为O(n^3)
如果在prim中加堆优化,复杂度会降为O((n^2)logn)
代码:
#include <iostream>using namespace std;int mat[600][600];int res;//Stoer-Wagner算法,加了自己看得懂的备注//无向图全局最小割,用求prim类似方法o(n^3),学习了一个下午……//一开始用枚举源点汇点的最大流求解,复杂度o(n^5) 超时void Mincut(int n) { int node[600], dist[600]; bool visit[600]; int i, prev, maxj, j, k; for (i = 0; i < n; i++) node[i] = i; while (n > 1) { int maxj = 1; for (i = 1; i < n; i++) { //初始化到已圈集合的割大小 dist[node[i]] = mat[node[0]][node[i]]; if (dist[node[i]] > dist[node[maxj]]) maxj = i; } prev = 0; memset(visit, false, sizeof (visit)); visit[node[0]] = true; for (i = 1; i < n; i++) { if (i == n - 1) { //只剩最后一个没加入集合的点,更新最小割 res = min(res, dist[node[maxj]]); for (k = 0; k < n; k++) //合并最后一个点以及推出它的集合中的点 mat[node[k]][node[prev]] = (mat[node[prev]][node[k]] += mat[node[k]][node[maxj]]); node[maxj] = node[--n]; //缩点后的图 } visit[node[maxj]] = true; prev = maxj; maxj = -1; for (j = 1; j < n; j++) if (!visit[node[j]]) { //将上次求的maxj加入集合,合并与它相邻的边到割集 dist[node[j]] += mat[node[prev]][node[j]]; if (maxj == -1 || dist[node[maxj]] < dist[node[j]]) maxj = j; } } } return;}int main() { int n, m, a, b, v; while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF) { res = (1 << 29); memset(mat, 0, sizeof (mat)); while (m--) { scanf("%d%d%d", &a, &b, &v); mat[a][b] += v; mat[b][a] += v; } Mincut(n); printf("%d/n", res); }}
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