HDU 4549 M斐波那契数列 (费马小定理降幂&矩阵快速幂)

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4549

Problem Description

M斐波那契数列F[n]是一种整数数列，它的定义如下：

F[0] = a
F[1] = b
F[n] = F[n-1] * F[n-2] ( n > 1 )

现在给出a, b, n，你能求出F[n]的值吗？

 

Input

输入包含多组测试数据；
每组数据占一行，包含3个整数a, b, n（ 0 <= a, b, n <= 10^9 ）

 

Output

对每组测试数据请输出一个整数F[n]，由于F[n]可能很大，你只需输出F[n]对1000000007取模后的值即可，每组数据输出一行。

 

Sample Input

0 1 06 10 2

 

Sample Output

060

 

Source

2013金山西山居创意游戏程序挑战赛——初赛（2）

思路：

1. 首先得出封闭形式：

F[n]=a  (n=0)

F[n]=a^Fib[n-1]*b^Fib[n]  (n>0)

2. 发现1000000007是质数，遂用费马小定理，得

F[n]%m=a^(Fib[n-1]%(m-1))*b^(Fib[n]%(m-1))%m

3. f[n]%(m-1)的计算用矩阵快速幂

4. a^x的计算用快速幂

完整代码：

/*0ms,232KB*/#include<cstdio>const long long M = 1000000007;struct Matrix{long long mat[2][2];};const Matrix P ={1, 1,1, 0,};const Matrix I ={1, 0,0, 1,};Matrix matrixmul(Matrix a, Matrix b){Matrix c;int i, j, k;for (i = 0 ; i < 2; ++i)for (j = 0; j < 2; ++j){c.mat[i][j] = 0;for (k = 0; k < 2; ++k)///利用费马小定理c.mat[i][j] += a.mat[i][k] * b.mat[k][j] % (M - 1);///行*列c.mat[i][j] %= (M - 1);}return c;}///P^n%(M-1)，P已在程序开头定义Matrix quickpow(long long n){Matrix m = P, ret = I;while (n){if (n & 1) ret = matrixmul(ret, m);n >>= 1;m = matrixmul(m, m);}return ret;}///a^b%Mlong long quickpow(long long a, long long b){long long ret = 1;while (b){if (b & 1) ret = ret * a % M;b >>= 1;a = a * a % M;}return ret;}int main(){long long a, b, n;Matrix q;while (~scanf("%I64d%I64d%I64d", &a, &b, &n)){q = quickpow(n);///不需要特判哦printf("%I64d\n", quickpow(a, q.mat[1][1]) * quickpow(b, q.mat[1][0]) % M);///a^Fib(n-1)*b^Fib(n)%M}return 0;}