面试题：支持O(1)时间内完成pop,push和max的栈

一个支持O(1)时间内完成pop,push和max的栈

这是一个面试题，跟同事交流得到的。解法十分巧妙，值得学习。更详细的可以参看：:imap博客

问题描述

要求设计一个栈，支持pop,push和max三种操作，每种操作都是O(1)时间的。

问题分析

一般的栈，本身的pop和push的操作就是O(1)的，可以考虑使用一个变量来存储最大值。问题在于，如果这个最大值被pop出去，这个变量就需要重新计算。如果通过遍历一遍来求出，则需要O(n)的时间，达不到要求。此外，任何想通过一个排好序的序列来解决最大值的pop问题的方案，都有一个致命缺点，就是每次push的时候，需要进行插入。

实现一：借助第二个栈

这个方案是基于这样一个事实：如果push的元素小于最大值，则当前栈的最大值不会发生变化。举个例子：

输入序列为2,1,0,5,4,3,6

当push和pop1和0时，栈的最大值不变，为2。但当进一步输入5，由于5大于2，则5就是当前栈的最大值。继续push进来或者pop出去4和3，5都是最大值。当5被pop出去的时候，2又变成最大值了。所以只要用一个栈来存储2和5就行了。每当push一个数，如果大于最大值栈的栈顶元素，则同时加入最大值栈。每当pop一个数时，如果跟最大值相等，就同样弹出。

代码如下：

package com.twabs.prac;public class NStack1 {private int[] stack = new int[100];private int[] maxs = new int[100];private int top = 0;private int mtop = 0;public void push(int el) {if (el >= maxs[mtop]) {maxs[++mtop] = el;}stack[++top] = el;}public int pop() {if (top <= 0) return -1;if (stack[top] == maxs[mtop]) {mtop--;}return stack[top--];}public int max() {return maxs[mtop];}}

实现二：使用一个变量

使用第二个栈的主要原因在于我们需要在pop出最大值的时候，将第二大的值变成新的最大值。进一步考虑实现一的基础事实，新push的元素小于当前最大值，则最大值不变；否则最大值发生变化。在pop出元素的时候，这条事实也是成立的。关键在于最大值发生变化的时候，如何恢复次最大值？大小关系可以通过差值来进行存储，只要在pop和push的时候计算就行。

那差值能否帮助我们恢复次最大值呢？答案是肯定的。假设现在栈里面有n-1个元素，第n个元素进来时，我们再栈里面存贮的是(Sn - MAX(Sn-1,Sn-2,...,S1))。如果是正的，表明新的元素是新的最大值。这样在pop的时候，如果栈顶是正的，那么用当前最大值减去栈顶元素就可以得到新的最大值！如果是负数，则最大值不变。

这个想法的确很天才，可以将实现的空间复杂度降低到常熟级别。

代码如下：

package com.twabs.prac;public class NStack2 {private int[] stack = new int[100];private int top = 0;private int max = 0;public void push(int el) {stack[++top] = el - max;if (el > max) {max = el;}}public int pop() {int t = stack[top] + max;if (stack[top] > 0) {t = max;max -= stack[top--];} else {top--;}return t;}public int max() {return max;}}

基本操作的威力

这个问题也生动的展示了，为了在数据结构中支持一种基本操作，数据结构本身所进行的改变和调整，同时这种改变和调整极大提高了基本操作的算法效率。